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Gleichungen von Verbindungsgeraden bestimmen.

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Gleichungen, Steigung, Y-Achsenabschnitt

Cagla aktiv_icon

17:34 Uhr, 28.09.2010

Hallo an alle :-)

Ich bereite mich seit ein paar Tagen auf eine Mathematik-Klausur vor.

Heute habe ich folgende Aufgabe vor mir liegen:

Aufgabe 1:

Gegeben sind die Punkte $A (- 3 | - 4), B (4 | - 4)$ und $C (2 | 5)$

$a)$ Bestimme die Gleichungen aller drei Verbindungsgeraden im Dreieck ABC.

-Ich habe zuerst die Punkte in einem Koordinatensystem eingezeichnet und diese miteinander verbunden.
-Anschließend habe ich versucht die Steigung und den Y-Achsenabschnitt von jeder Gerade zu bestimmen.

Das Problem jedoch war das ich der Geraden AC den Y-Achsenabschnitt nicht genau ablesen konnte.

Und für das Ablesen von dem Y-Achsenabschnitt der Geraden BC war das Koordinatensystem von mir zu klein.

Bestimmt kann man das rechnerisch lösen, nur weiss ich nicht wie ich das hinkriegen soll ich hab versucht nach dem Y-Achsenabschnitt auszulösen aber das ist ja Quatsch.

Ich würde mich riesig auf eure Antworten freuen.

Ich versuche hier nochmal das Dreieck darzustellen.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mokaan aktiv_icon

18:01 Uhr, 28.09.2010

Hi Cagla!

Du hast es schon richtig erfasst, man kann das alles gut rechnerisch lösen.
Wir brauchen ja nur lineare Funktionen, diese sehen ja in der Regel so aus: $f (x) = m x + b$ .
Die Steigung $m$ lässt sich über das Steigungsdreieck wie folgt berechnen:
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , wobei wir die Koordinaten zweier Punkte benutzen, welche sich so zuordnen lassen: $P_{1} = (x_{1} ∣ y_{1}), P_{2} = (x_{2} ∣ y_{2})$ .
Ich nehme Beispielsweise mal deine Punkte $A = P_{1} = (- 3 ∣ - 4)$ und $C = P_{2} = (2 ∣ 5)$ . Setzen wir das ein, dann haben wir: $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - (- 4)}{2 - (- 3)} = \frac{9}{5}$
Nun bleibt nur noch der Achsenabschnitt zu berechnen:
$y = f (x) = m x + b$ (Alles einsetzen, was wir kennen, als Koordinaten nutze ich $A$ )
$- 4 = \frac{9}{5} \cdot (- 3) + b \Leftrightarrow - 4 = \frac{- 27}{5} ∣ + \frac{27}{5}$
$- 4 + \frac{27}{5} = b \Leftrightarrow \frac{- 20}{5} + \frac{27}{5} = \frac{7}{5} = b$
Wir erhalten als Funktion: $f (x) = \frac{9}{5} x + \frac{7}{5}$
Zu allerletzt können wir noch eine Probe machen:
Punkt $A$ : $f (- 3) = \frac{9}{5} (- 3) + \frac{7}{5} = \frac{- 27}{5} + \frac{7}{5} = \frac{- 20}{5} = - 4 \Rightarrow$ passt!
Punkt $C$ : $f (2) = \frac{9}{5} (2) + \frac{7}{5} = \frac{18}{5} + \frac{7}{5} = \frac{25}{5} = 5 \Rightarrow$ passt!

So kannst du für die anderen beiden Geraden ebenfalls vorgehen.
Viel Erfolg
Mokaan

Cagla aktiv_icon

18:37 Uhr, 28.09.2010

Perfekt!

Ich habe eben noch die Formel für die Steigung im Buch gefunden und habe versucht es so zu lösen. Dannach habe ich es mit ihrer/deiner Lösung verglichen.

Es war richtig :-D)

Und das mit dem Y-Achsenabschnitt habe ich auch verstanden.

Tausend Dank!

Doch diese Aufgabe hat (leider) noch andere Aufgaben.

Die "b" lautet:

Bestimme die Gleichungen aller Mittelsenkrechten.

Die Mittelsenkrechte ist doch die Mitte einer Geraden oder?

Doch wie berechne ich das...

mokaan aktiv_icon

21:13 Uhr, 28.09.2010

Also, die Mittelsenkrechten sind die Senkrechten im Mittelpunkt. Daher benötigen wir zunächst den Mittelpunkt. Da wir Geraden haben, ist dieser auch recht einfach zu ermitteln: Wir brauchen sowohl in $x$ -Richtung den mittleren Wert zwischen den $x$ -Werten der Punkte wie auch in $y$ -Richtung.

Ich nehm eals Beispiel wieder die Punkte $A = (- 3 ∣ - 4)$ und $C = (2 ∣ 5)$ :
Der mittlere Wert in $x$ -Richtung ergibt sich sich $x_{m} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{- 3 + 2}{2} = - \frac{1}{2}$
Für $y$ -Richtung gilt: $y_{m} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{- 4 + 5}{2} = \frac{1}{2}$
Für unseren Mittelpunkt gilt also $M_{\bar{A C}} = (- \frac{1}{2} ∣ \frac{1}{2})$ .

Nun kann man noch testen, ob auch wirklich $∣ \bar{A M_{\bar{A C}}} ∣ = ∣ \bar{C M_{\bar{A C}}} ∣$ gilt, also ob die Strecke von Punkt $A$ zum Mittelpunkt $M_{\bar{A C}}$ genau so lang ist, wie vom Mittelpunkt zum Punkt $C$ . Dazu nutze ich den Satz des Pythagoras:
$∣ \bar{A M_{\bar{A C}}} ∣ = \sqrt{(x_{A} - x_{M_{\bar{A C}}})^{2} + (y_{A} - y_{M_{\bar{A C}}})^{2}} = \sqrt{(- 3 + \frac{1}{2})^{2} + (- 4 - \frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{106}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{106}$
$∣ \bar{C M_{\bar{A C}}} ∣ = \sqrt{(x_{C} - x_{M_{\bar{A C}}})^{2} + (y_{C} - y_{M_{\bar{A C}}})^{2}} = \sqrt{(2 + \frac{1}{2})^{2} + (5 - \frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{106}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{106}$
Unsere Längen stimmen also auch überein. Unsere Überlegung zur Bestimmung des Mittelpunkts ist also erfolgreich und der Mittelpunkt ist auch richtig.
Nun brauchen wir noch eine Steigung. Dazu ist nützlich zu wissen:
Sei $g$ eine Gerade mit Steigung $m_{1}$ und $h$ eine dazu senkrechte Gerade mit Steigung $m_{2}$ . Da die Geraden senkrecht zueinander sind, gilt: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .
da wir wissen, dass die Funktion, die die Gerade durch $A$ und $C$ beschreibt, die Steigung $m_{1} = \frac{9}{5}$ hat, können wir mit dieser Formel $m_{2}$ berechnen:
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \Rightarrow \frac{9}{5} \cdot m_{2} = - 1 \Leftrightarrow m_{2} = - \frac{5}{9}$ .
Wir suchen nun also eine Gerade durch den Punkt $M_{\bar{A C}} = (- \frac{1}{2} ∣ \frac{1}{2})$ mit Steigung $m_{2} = - \frac{5}{9}$ .
Setzen wir also in $y = m x + b$ ein: $(x ∣ y) = (- \frac{1}{2} ∣ \frac{1}{2})$ und $m = - \frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = - \frac{5}{9} \cdot (- \frac{1}{2}) + b = \frac{5}{18} + b ∣ - \frac{5}{18}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{5}{18} = \frac{9}{18} - \frac{5}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} = b$
Also haben wir eine Gleichung für die Muttelsenkrechte: $f (x) = - \frac{5}{9} x + \frac{2}{9}$ .
Machen wir dazu noch einen Test und setzen $x = - \frac{1}{2}$ ein: $f (- \frac{1}{2}) = - \frac{5}{9} \cdot (- \frac{1}{2}) + \frac{2}{9} = \frac{5}{18} + \frac{2}{9} = \frac{5}{18} + \frac{4}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
Also läuft unsere berechnete Gerade auch durch unseren Mittelpunkt $M_{\bar{A C}} = (- \frac{1}{2} ∣ \frac{1}{2})$ .

Die anderen Mittelsenkrechten gehen analog, aber ich denke, du kannst dir die ganzen Proben sparen. Ich wollte sie dir nur gezeigt haben, damit du auch selbstständig kontrollieren kannst!

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