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Strecke, Punkte berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Abstand, Geometrie, Gerade, Punkt, Strecke

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22:38 Uhr, 26.12.2015

Hallo erstmal

ich versuche momentan ein Problem zu lösen, komme aber einfach an einer Stelle nicht weiter.
Ich habe in einem zweidimensionalem Koordinatensystem zwei Punkte

B

und

C

gegeben. Nun soll ich den Abstand zwischen diesen berechnen. Bis dahin habe ich noch alles geschafft.
Nun aber werden vom Abstand 2 Einheiten abgezogen (von Punkt

B

an). Punkt

C

bleibt natürlich gleich aber wie ich den neuen Punkt

B

errechnen soll ist mir ein Rätzel. Hier die Werte.

B (7 | 3)

C (0 | 0)

Strecke BC

= \sqrt{{(7 - 0)}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = 7,6

BC-2

= 5,6

B

C (0 | 0)

Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

22:43 Uhr, 26.12.2015

Nein, die Länge von BC ist nicht 7.6, sondern

\sqrt{58} .

Wenn du den Vektor BC mit

\frac{1}{\sqrt{58}}

multiplizierst, erhältst du einen Vektor mit dem Betrag 1.
Wenn du demzufolge den Vektor BC mit

\frac{2}{\sqrt{58}}

multiplizierst, erhältst du einen Vektor mit dem Betrag 2.

Sendtex aktiv_icon

22:50 Uhr, 26.12.2015

Danke für die schnelle Antwort! Ich verstehe leider nicht ganz. Wie soll ich aus diesen Werten den Punkt

B

errechnen? Wieso ergibt BC multipliziert mit

\frac{1}{\sqrt{58}}

den Betrag 1 und was soll ich daraus schließen? Ein Stichwort unter dem ich mich informieren könnte wäre toll!
Grüße

-Wolfgang-

23:48 Uhr, 26.12.2015

Hallo,

>

Wieso ergibt BC multipliziert mit

\frac{1}{\sqrt{58}}

den Betrag 1 und was soll ich daraus schließen?

Wenn man einen Vektor durch seinen Betrag dividiert

(\cdot \frac{1}{\sqrt{58}}),

erhält man einen Einheitsvektor der Länge 1.

>

Wie soll ich aus diesen Werten den Punkt

B

errechnen?

Für den Vektor

O B_{2} = \vec{b_{2}},

der als Ortsvektor von

B_{2}

dessen Koordinaten hat, gilt:

\vec{b_{2}} = \vec{b} + \frac{2}{\sqrt{58}} \cdot

Vektor BC

\vec{b_{2}} = \vec{b} + \frac{2}{\sqrt{58}} \cdot (\vec{c} - \vec{b})

[\vec{c}

und

\vec{b}

haben die Koordinaten der Punkte

B

bzw.

C]

Gruß Wolfgang

rundblick aktiv_icon

23:56 Uhr, 26.12.2015

B (7 | 3)

C (0 | 0)

\vec{C B} = \vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})

\vec{b} = \frac{1}{\sqrt{58}} \cdot \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{58}} \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})

vergleiche:

\to

welche Länge hat

\vec{a}

\to

welche Länge hat

\vec{b}

\to

welche Richtung haben die beiden Vektoren?

\to

wo liegt der Endpunkt

B_{1}

von

\vec{C B_{1}} = \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}

(beschreibe die Kage des Punktes

B_{!})

Vorschlag: mach dir dazu auch mal noch eine Zeichnung..
.

Atlantik aktiv_icon

09:40 Uhr, 27.12.2015

Alternative:

Kreis um

B (7 | 3)

mit

r = 2

schneidet die Gerade durch

C

und

B

im neuen Punkt B´.

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

10:15 Uhr, 27.12.2015

"> Kreis um

B (7 | 3)

mit

r = 2

schneidet die Gerade durch

C

und

B

im neuen Punkt B´.

die Idee ist ja beinahe alternativlos super
nur
scheint es, dass es noch nicht bis in den Atlantik durchgedrungen ist,
dass eine

G e r a d e

und ein Kreis (dessen Mittelpunkt auf einem ihrer
Punkte herumliegt) sich über

\to

ZWEI gemeinsame Schnitt-Punkte erfreuen...

.

Atlantik aktiv_icon

10:19 Uhr, 27.12.2015

Dass dieser andere Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden nicht auf der Strecke

B C

liegt wollte ich nun Sendtex nicht verraten...

mfG

Atlantik

Sendtex aktiv_icon

14:44 Uhr, 27.12.2015

Danke für die vielen Antworten!
Atlantiks Lösung klingt logisch.
Jetzt stellt sich die Frage wie ich die Schnittpunkte von Kreis und Gerade errechne und welcher der Punkte der richtige ist. Ich habe einfach mal die Gleichungen für den Kreis und die Gerade auf der unsere Strecke BC liegt aufgestellt.

Gerade

: F (x) = 0,43 x

Kreis

: 4 = {(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2}

leider weiß ich nicht viel über Kreise. Anscheinend muss man die Geradengleichung in die Kreisgleichung einsetzen. Das wäre dann :

4 = {(x - 7)}^{2} + {(0,43 x - 3)}^{2}

Das Problem ist das die Lösungsmenge dieser Gleichung

{}

ist

Selbst wenn ich diese jetzt ausrechnen könnte wären 2 Punkte möglich, da der Kreis ja 2 mal auf

x

liegt.
Grüße

abakus

15:19 Uhr, 27.12.2015

"F(x)=0,43x"

Wer bringt euch so einen Unsinn bei?
Die Gleichung der Geraden, auf der die beiden Punkte liegen, lautet

f (x) = \frac{3}{7} x

.

Und wenn du schon diesen Ansatz wählst: Du suchst denjenigen Punkt (x|f(x))auf der Strecke zwischen B und C, für den im entsprechenden Steigungsdreick nach Satz des Pythagoras gilt:

x^{2} + (\frac{3}{7} x)^{2} = (\sqrt{58} - 2)^{2}

.
Diese Gleichung hat für x zwei Lösungen; du brauchst die, bei der der x-Wert kleiner als 7 ist.

PS: Deine Ansatzgleichung ist (abgesehen von der sinnlosen Ersetzung des Bruchs 3/7 durch einen Näherungswert) ebenfalls richtig. Die Lösungsmenge davon ist NICHT leer.

rundblick aktiv_icon

15:30 Uhr, 27.12.2015

.

" Du suchst denjenigen Punkt (x|f(x))auf der Strecke zwischen

B

und

C,

für den im entsprechenden Steigungsdreick nach Satz des Pythagoras gilt: "

x^{2} + {(\frac{3}{7} x)}^{2} = {(\sqrt{58} - 2)}^{2}

na super! - und ob das auch noch klar und wahr ist ?
jedenfalls:
geniesse es: denn wer verkauft dir sonst so wunderbar aufgeblasen und geschwollen
die Tatsache , dass du einfach gleich den Punkt nehmen kannst, für den

x < 7

ist

- -

abakus

15:44 Uhr, 27.12.2015

Hallo rundblick,
rege dich ab. Jedem anderen Fragesteller hätte ich wohl auch gesagt "Überlege mal selbst, welche der beiden Lösungen zutrifft."
Hier sind aber die Probleme viel gravierender, weil der Klient anscheinend weder in Bruchrechnung sicher ist noch eine quadratische Gleichung lösen kann. Es wäre also schon viel gewonnen, wenn er letzteres überhaupt mit unserer Hilfe hinbekommt.

Sendtex aktiv_icon

16:25 Uhr, 27.12.2015

Das Problem ist, dass ich das ganze nicht im Ramen einer einzigen Aufgabe mache sondern ein Programm entwickle, welches solche Aufgaben mit zufällig gewählten Punkten berechnet. Ich benötige also eine Regel mit der ich feststellen kann welcher der Werte der richtige ist.

4 = {(x - 7)}^{2} + {(\frac{3}{7} x - 3)}^{2}

Tatsächlich konnte ich die Aufgabe nur nicht lösen weil ich

\frac{3}{7}

durch

0,43

ersetzt habe.

B' (5,16 | 2,2)

-Wolfgang-

00:55 Uhr, 28.12.2015

Hallo ihr Komiker,

die letzte (begründete!) Gleichung in meinem Post vom

26.12.15

23 : 48

(das war, bevor @Rundblick mal wieder angefangen hat reinzuquatschen) ergibt genau diese Lösung in knapp einer (Formeleditor-!)-Zeile:

\vec{b_{2}} = \vec{b} + \frac{2}{\sqrt{58}} \cdot (\vec{c} - \vec{b})

= (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) + \frac{2}{\sqrt{58}} \cdot ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})) = (1 - \frac{2}{\sqrt{58}}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 5,16 \\ 2,21 \end{matrix})

Was sollte also das ganze Theater?

Gruß Wolfgang

abakus

12:01 Uhr, 28.12.2015

Hallo Wolfgang,
natürlich gibt es die verschiedensten Ansätze zur Lösung dieser Aufgabe, und mit einem entsprechend reichhaltigen Repertoire an mathematischen Kenntnissen kann man kompetent entscheiden, welcher Weg besonders einfach und konfliktlos (z.B. bezüglich der Eindeutigkeit der Lösung) ist.

Aber da fängt der Hamster an zu humpeln. Der Fragesteller hat an keiner Stelle seiner Rückantworten den Begriff "Vektor" verwendet. Das legt zumindest die Vermutung nahe, dass er damit noch nicht oder nicht ausreichend umgehen kann.
Deswegen haben wir Komiker auch andere Lösungswege zur Diskussion gebracht.

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