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Größte Innenwinkelsumme im Dreieck?!
Schüler Gymnasium, 7. Klassenstufe
Tags: Dreieck, Innenwinkel, Summe
 
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Hallo zusammen, ich brauche eure Hilfe: Wir haben in Mathe heute die Hausaufgabe bekommen, das Dreieck mit der größten Innenwinkelsumme zu finden. Ich habe aber überhaupt keine Ahnung, wie ich bei der Lösung der Aufgabe vorgehen soll... Hat jemand eine Idee und kann mir helfen? Danke :-) Leonie |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Achja, unser Lehrer hat uns als Hinweis noch folgende Skizze gegeben - vielleicht hilft sie ja euch? |
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Die Innenwinkelsumme ist in jedem Dreieck immer 180°. Wie lautet die Aufgabe im Original? |
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Hier gibt es einen anschaulichen Beweis für die Winkelsumme Grad )beim Dreieck: http//www.walter-fendt.de/html5/mde/anglestriangle_de.htm mfG Atlantik |
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Hallo, nimm ein beliebiges Dreieck, dessen Umkreismittelpunkt (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) innerhalb des Dreiecks liegt. Konstruiere den Umkreis und verbinde alle Eckpunkte mit dem Mittelpunkt. So entstehen 3 Teildreiecke, die zusammen das ursprüngliche Dreieck ergeben. Betrachte nun eine beliebige Seite als Sehne des Kreises. Nach dem Zentriwinkelsatz ist der Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel; gebildet aus den Verbindungen der Endpunkte der Sehne mit dem Mittelpunkt) doppelt so groß, wie der Peripheriewinkel (Umfangswinkel; gebildet aus den beiden anderen Dreiecksseiten). Oder anders ausgedrückt: Der Dreieckswinkel, der der Sehne gegenüber liegt, ist halb so groß wie der Zentriwinkel. Das kann man analog für die beiden anderen Seiten auch herausfinden. Die Summe der 3 Zentriwinkel ergibt 360°, also einen Vollkreis. Damit ergibt die Summe der der 3 Peripheriewinkel, die ja jeder einzelne halb so groß ist wie der dazugehörige Zentriwinkel, die Hälfte der Summe der Zentriwinkel, also 1/2*360° = 180°. Das gilt für jedes Dreieck, dessen Umkreismittelpunkt im inneren liegt. Für rechtwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt auf der Hypothenuse. Dann verbindet man den Eckpunkt mit dem rechten Winkel mit dem Mittelpunkt und teilt somit das Dreieck in 2 Teildreiecke. Analog zu eben erkennt man, dass die Winkel, die an der Hypothenuse anliegen halb so groß sind wie die Zentriwinkel über der gegenüberliegenden Kathete. Hier ergeben die beiden Zentriwinkel 180°, weil sie jeweils nebeneinanderliegend an der Hypothenuse anliegen. Damit ergibt die Summe der Winkel an der Hypothenuse 1/2*180° = 90°. Zusammen mit dem rechten Winkel zwischen den Katheten hat auch dieses Dreieck 90° 90° als Innenwinkelsumme. Für Dreiecke, deren Umkreismittelpunkt ausserhalb liegt, fällt man von dem Eckpunkt, der der größten Seite gegenüber liegt das Lot auf diese größte Seite. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Für diese beiden rechtwinkligen Dreiecke gilt nach eben, dass deren Innenwinkelsumme jeweils 180° ist. Die Innenwinkelsumme des gegebenen Dreiecks ist die Summe der Innenwinkel der beiden Teildreiecke minus der beiden rechten Winkel, die sich zur längsten Seite ergänzen. Also ist die Innenwinkelsumme 180° 180° - 2*90° = 180°. Damit gilt für jedes Dreieck, dass seine Innenwinkelsumme 180° beträgt. |
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"Wir haben in Mathe heute die Hausaufgabe bekommen, das Dreieck mit der größten Innenwinkelsumme zu finden." Probier doch mal ein bißchen rum und miss die Winkel und addiere sie. Fällt Dir etwas auf? (In Klasse 7 ist Winkelsumme in Dreiecken Thema. Ich denke, sie soll einfach ein bißchen probieren und die Klasse wird feststellen, dass weder ein Schüler eine besonders große Summe, noch ein anderer eine besonders kleine Summe geschafft hat.. ;-) |
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