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Größtmögliches rechteck im rechtwinkligen dreieck

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Fläche, Quadrat

DieTini

13:05 Uhr, 05.04.2008

Also gegeben ist eine garade

y = - \frac{4}{3} x + 4

mit

(\frac{0}{4})

und

(\frac{3}{0}) .

die garade bildet mit der

x

und der yAchse ein rechtwinkliges dreieck und man soll das größtmögliche (fläche=max) rechteck innerhalb des dreiecks errechnen.
Soweit bin ich auch gekommen... dabei kommt dann ein quadrat mit seitenlänge ungefähr

1,7

cm und fläche 2.9cm^2 raus
nur wie begründe ich jetzt das ein quadrat die größtmögliche fläche hat und kein rechteck????

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Winkelsumme
Wurzelgesetze

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.04.2008

Hi

wie kommst du auf dein Ergebnis? Normalerweise brauchst du nichts zu begründen. Das aufschreiben einer (korrekten) Rechnung bzw. deiner Überlegungen reicht im Normalfall aus.
Ein Quadrat ist übrigens auch ein Rechteck (eine Sonderform eines Rechtecks).

Hilft aber alles nichts. Dein Ergebnis ist leider falsch. Richtig ist:
Rechteck mit den Seitenlängen

1,5

und 2 und einem Flächeninhalt von

3 .

Berechnet habe ich das ganze durch eine Parabel.

Schreib mal deine Überlegungen auf.

Grüße

DieTini

14:04 Uhr, 05.04.2008

das ´war eine aufgabe in meiner schulaufgabe und der lehrer wollte das wir begründen wie und was wir rechnen.

wie berechnest du das denn mit einer parabel??????

MBler07 aktiv_icon

14:22 Uhr, 05.04.2008

Eigentlich berechne ich das über Ableitungen. Aber das ist Stoff der

11

. Klasse.
In der 9. dürfte das mit Parabeln gehen.

Du hast die Bedingung, dass

x \cdot y = A

möglichst groß werden soll. Dabei ist

y = - \frac{4}{3} \cdot x + 4

. Wenn ich beide Bedingungen zusammenfasse erhalte ich:

A = x \cdot (- \frac{4}{3} \cdot x + 4) = - \frac{4}{3} \cdot x^{2} + 4 x

Durch quadratische Ergänzung bringe ich diese quadratische Funktion (=Parabel) auf die Scheitelpunktsform:

- \frac{4}{3} \cdot (x^{2} + (- \frac{3}{4}) \cdot 4 x) = - \frac{4}{3} \cdot (x^{2} - 3 x) = - \frac{4}{3} \cdot (x^{2} - 3 x + {1,5}^{2} - {1,5}^{2})

= - \frac{4}{3} \cdot ((x^{2} - 3 x + {1,5}^{2}) - {1,5}^{2}) = - \frac{4}{3} \cdot {(x - 1,5)}^{2} - \frac{4}{3} \cdot (- 1,5) = - \frac{4}{3} \cdot {(x - 1,5)}^{2} + 3

Daraus kann ich jetzt mehrere Sachen ablesen:
1. Der Scheitelpunkt ist

(1,5 | 3)

2. Die Parabel ist nach unten geöffnet (wegen

- \frac{4}{3})

\to

Da sie nach unten geöffnet ist stellt der Scheitelpunkt den größten Wert dar, den diese quadratische Funktion annehmen kann (An der Stelle

x = 1,5)

Der Flächeninhalt wird also für

x = 1,5

am größten.

Die andere Seite

(y)

berechne ich durch einsetzen:

y = - \frac{4}{3} \cdot (1,5) + 4 = - 2 + 4 = 2

Probe:

A = 1,5 \cdot 2 = 3

Das ist ein rechnerischer Beweis mit Begründung.
Ich nehme mal an, dass das deinem Lehrer ausreicht, sofern ich damit nichts geschrieben habe, was ihr noch nicht hattet.

DieTini

16:21 Uhr, 05.04.2008

danke ich glaub ich habs verstanden

: -)

hatten wir auch schon alles vom stoff her danke=

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