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Herleitung N!/(N-n)!Wahrscheinlichkeitsrechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Herleitung

Levin aktiv_icon

11:42 Uhr, 25.03.2015

Hallo liebe Forummitglieder,

ich bin gerade dabej mein Wahrscheinlichkeitsrechnungswissen zu erweitern
und möchte dabei auch möglichst jeden Schritt genau verstehen, deshalb die Frage:
Es wird eine Ziehung aus der Gesamtkugelmenge

N

durchgeführt, dabei werden

n

Ziehungen vorgenommen, wobei eine Kugel nach Ziehung nicht zurückgelegt wird und alle Kugeln die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit haben, also ergibt sich

N (N - 1) \cdot ... \cdot (N - n + 1) = N!

durch

(N - n)!

Wie komme ich jetzt von dem Term links der Gleichung zu dem Term rechts der Gleichung?
Über konstruktive Beiträge und Anmerkungen wäre ich sehr dankbar.
(falls so ein Thread bereits existieren sollte und ich ihn lediglich nicht gefunden habe wäre ich über den Link erfreut)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Herleitung der Kreiszahl Pi

Wie kann man die Kreiszahl

π

herleiten?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Bummerang

11:48 Uhr, 25.03.2015

Hallo,

"Wie komme ich jetzt von dem Term links der Gleichung zu dem Term rechts der Gleichung? "

Durch sinnvolles Erweitern!

N \cdot (N - 1) \cdot ... \cdot (N - n + 1)

= N \cdot (N - 1) \cdot ... \cdot (N - n + 1) \cdot \frac{N - n}{N - n} \cdot \frac{N - n - 1}{N - n - 1} \cdot ... \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{1}

= \frac{N \cdot (N - 1) \cdot ... \cdot (N - n + 1) \cdot (N - n) \cdot (N - n - 1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(N - n) \cdot (N - n - 1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

= \frac{N!}{(N - n)!}

Levin aktiv_icon

12:21 Uhr, 25.03.2015

Danke für die schnelle Antwort.

Wie komme ich den auf den Teil via Erweiterung

N-nN-nN-n-1N-1*...*33*22*11

??

Bummerang

12:39 Uhr, 25.03.2015

Hallo,

"Wie komme ich den auf den Teil via Erweiterung"

Mal ehrlich, Du willst ein langes Produkt von unmittelbar aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch eine verkürzte Schreibweise darstellen! Da sollte jedem die Fakultät einfallen, die allerdings nicht beliebige aufeinanderfolgende Zahlen multipliziert sondern immer von der 1 beginnt. Wenn man das Produkt um die fehlenden Faktoren bis zur 1 ergänzt, dann muss man, damit der Wert des Termes gleich bleibt, im Nenner jeden ergänzeten Faktor auch wieder rauskürzen. So einfach ist das...

Levin aktiv_icon

13:33 Uhr, 25.03.2015

Super danke! Jetzt habe ich es wieder, ist eigentlich recht banal^^

Für andere die das Verständnisproblem haben ein einfaches Beispiel,
angenommen

N = 6

und

n = 3

wir haben also als Lösung über einsetzten in

N (N - 1) \cdot ... \cdot (n - n + 1)

6 \cdot 5 \cdot 4

raus um nun hier N!durch(N-n)! als Lösung nachvollziehen zu können setzten wir erneut

N

und

n

ein, also (6*5*4*3*2*1)durch(3*2*1)=6*5*4

Levin aktiv_icon

13:33 Uhr, 25.03.2015

Super danke! Jetzt habe ich es wieder, ist eigentlich recht banal^^

Für andere die das Verständnisproblem haben ein einfaches Beispiel,
angenommen

N = 6

und

n = 3

wir haben also als Lösung über einsetzten in

N (N - 1) \cdot ... \cdot (n - n + 1)

6 \cdot 5 \cdot 4

raus um nun hier N!durch(N-n)! als Lösung nachvollziehen zu können setzten wir erneut

N

und

n

ein, also (6*5*4*3*2*1)durch(3*2*1)=6*5*4

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