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Herleitung Varianz bei Normalverteilung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Integration, Normalverteilung, Varianz

White5 aktiv_icon

17:33 Uhr, 04.02.2010

Hallo erstmal :-)

Ich habe hier ein kleines Problem:
Ich versuche mithilfe von Substitution und partieller Integration die Varianz der Normalverteilung zu berechnen (bzw. herzuleiten). Ich bin auch relativ weit gekommen, hänge aber jetzt an einer Stelle fest und hoffe, dass mir jemand den entscheidenden Tip geben kann.

Also, wie bekannt ist geht das Ganze so los:

Var(X)=

\frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot σ} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} {(x - μ)}^{2} \cdot e^{(- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{x - μ}{σ})} d x

Dann folgt eine Substitution:

t = \frac{x - μ}{σ}

Daraus folgt dann: Var(X)=

σ^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} t^{2}} d t

Wieder Substitution:

u = \frac{1}{2} t^{2}

mit

u \geq 0

Also: Var(X)=

σ^{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{π}} \cdot \int_{0}^{\infty} \sqrt{u} \cdot e^{- u}

du

Und genau hier hänge ich fest. Ich habe im Netz etwas dazu gefunden, allerdings verstehe ich die Argumentation zu dem was im Integral steht nicht...

Mir ist klar, dass das Integral -um als Gesamtergebnis

σ^{2}

zu bekommen

\frac{\sqrt{μ}}{2}

ergeben muss, aber wie komme ich darauf, dass das so ist?

Gibt es dazu irgend ein festes mathematisches Gesetz oder wie muss ich weiter umformen um das beweisen zu können (evtl. partielle Integration?)?

Ich wäre für eine schnelle Antwort sehr dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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pakaKoni aktiv_icon

12:18 Uhr, 05.02.2010

Hallo

Es ist etwas unklar, was du an der Argumentation nicht verstehst. Ich nehme aber an, dass die Gamma Fkt. in der 13 Klasse nicht unbedingt vorgekommen ist, weshalb ich die Probleme bei dieser vermute.
Das Integral entspricht gerade der Definition der Gamma-Fkt für

Γ (\frac{3}{2}

, weshalb man die Eigenschaften der Gammafkt ausnutzen kann.

Im Wikepediaartikel zur Gammafunktion de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
findet sich unter 'Funktionalgleichungen' als letzte Gleichung

Γ (\frac{x}{n}) \cdot Γ (\frac{x + 1}{n}) \cdot \ \dots \ \cdot Γ (\frac{x + n - 1}{n}) = \frac{(2 π)^{(n - 1) / 2}}{n^{x - 1 / 2}} \cdot Γ (x)

für

n = 2, 3, 4, \dots

Damit kann man die Identität

\frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π} / 2

leicht nachrechnen.
Man erhält:

Γ (\frac{1}{2}) • Γ (\frac{2}{2}) = \frac{(2 π)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}} Γ (1) = \sqrt{π}

, da

Γ (1) = 1

gilt (1. Funktionalgleichung).

Die Umformungen aus dem Beispiel genügen der Gleichung

Γ (x + 1) = x Γ (x)

(ebenfalls 1. Funktionalgleichung)

Schau's dir mal an und rechne es grad nach, ich denke dann ist das schon klar.

Wie man das mit klassischen Methoden aus der Schulmathematik, wie Partieller Integration und Substitution löst, weiß ich so aus der Hüfte raus auch nicht.

LG

White5 aktiv_icon

19:47 Uhr, 06.02.2010

Vielen Dank, mithilfe der Eigenschaften der Funktion war es ganz einfach das zu zeigen, was ich wollte, du hast mir sehr geholfe

= D

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