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Herleitung der Vektorprojektion

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Vektorräume

Tags: Abbildung eines Vektors, Herleitung, Skalarprodukt, Vektorprojektion, Vektorraum

Someone010101 aktiv_icon

18:41 Uhr, 26.11.2014

Hi,

ich hatte vor 'ner Weile die Formel zur Vektorprojektion in der Vorlesung. Ich denke, ich hab eine Zeichnung angehängt. Eine schönere Zeichnung auf: de.wikibooks.org/wiki/Ing_Mathematik:_Vektoren#mediaviewer/File:Vektor_proj.png)

Im Prinzip soll ein Vektor

b

auf einen Vektor a projiziert werden, wobei der Vektor a zufällig der x-Achse entspricht.Der neu gebildete Vektor heißt dann

b [a]

.

Der Prof hatte dazu

b [a] =

(a*b)/|a|²

\cdot a

angeschrieben. (Wobei

a, b,

und

b [a]

alles Vektoren sind, ich kann nur nicht dauernd diese Pfeile dadrüber machen.

| a |

ist der Betrag von

a

.

Ich bin soweit, dass ich verstehe, dass

b [a] = | b [a] | \cdot e [a]

ist, also Betrag mal Richtung. Und da die Richtung von

b [a]

und a die selbe ist, ist

e [a] = \frac{1}{| a |} \cdot a;

also ist noch

| b [a] | = \frac{a \cdot b}{| a |}

übrig.

Ich hab auch aufgeschnappt, dass laute der Definition des Skalarprojektion*

a \cdot b =

|a|*|b|*cosß

ist. Und ich kann mit denken, dass man das zu mit

cosß

= \frac{| b [a] |}{| b |} \Rightarrow | b [a] | =

cosß

\cdot | b |

umformen kann. Aber ich verstehe nicht, wie man sowohl das cosß als auch das

b [a]

aus der letzendlichen Formel rauskriegt.

*Ich weiß nicht, wo die herkommt, aber das ist wohl ein anderes Thema.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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DrBoogie aktiv_icon

10:51 Uhr, 27.11.2014

"Ich hab auch aufgeschnappt, dass laute der Definition des Skalarprojektion"

Das heißt "Skalarprodukt".

"Aber ich verstehe nicht, wie man sowohl das cosß als auch das b[a] aus der letzendlichen Formel rauskriegt."

Wie meinst Du das? Und was ist überhaupt Deine Frage?

Someone010101 aktiv_icon

15:04 Uhr, 27.11.2014

Danke für deine Antwort(en).

Meine Frage: Wie kommt man zur Formel:

b [a] = \frac{a \cdot b}{| a |} \cdot \frac{a}{| a |}

Ich habe mir die Herleitung natürlich schon angeguckt und verstehe den Schritt ab

a⋅b= |a|*|b|*cosß

und

b [a] | =

cosß ⋅|b|

nicht. Also den Schritt, wo cosß und

b [a]

als a oder

b

ausgedrückt werden.

DrBoogie aktiv_icon

15:18 Uhr, 27.11.2014

b [a] = b \cos (β)

folgt direkt aus der Definition von Kosinus (das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck).
Die Formel

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos (β)

kann man als Definition von Skalarprodukt ansehen. Wenn man aber Skalarprodukt durch

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

definiert, dann beweist man

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos (β)

mittels Kosinus-Satz:
http//www.matheboard.de/archive/384634/thread.html

Die Zeichung ist übrigens schlecht,

b [a]

ist deutlich zu lang.

Someone010101 aktiv_icon

15:24 Uhr, 27.11.2014

Ich verstehe, wo die Formeln herkommen, ich verstehe leider nicht, wie sie zu

b [a] = \frac{a \cdot b}{| a |} \cdot \frac{a}{| a |}

führen.

Und ja, bei der Zeichnung hab ich mich vertan.

DrBoogie aktiv_icon

15:46 Uhr, 27.11.2014

OK, ich muss doch Einiges korrigieren.

b [a] = b \cos (β)

stimmt natürlich nicht, denn

b [a]

zeigt Richung

a

(oder

- a

) und

b \cos (β)

zeigt Richtung

b

. Aus genau diesem Grund ist es schon hilfreich, Pfeile zu verwenden! :-)

Richtig ist:

∣ b [a] ∣ = ∣ b \cos (β) ∣

, also für die Längen stimmt es.
Aber da

b [a]

kollinear zu

a

ist, muss

b [a] = α a

sein. Und

α

wird bestimmt aus der Bedingung

∣ b [a] ∣ = ∣ b \cos (β) ∣

, aus welcher dann

∣ α a ∣ = ∣ b \cos (β) ∣

folgt, also

∣ α ∣ = \frac{∣ b \cos (β) ∣}{∣ a ∣}

und

α = \pm \frac{∣ b ∣ ∣ \cos (β) ∣}{∣ a ∣}

. Ob es

+

oder

-

ist, hängt davon ab,
in welchem Bereich

β

liegt. Ist

β

wie auf der Zeichung

< 90

Grad, dann kommt

+

raus, denn

b [a]

zeigt in dieselbe Richtung wie

a

. In diesem Fall haben also

b [a] = α a = \frac{∣ b ∣ ∣ \cos (β) ∣}{∣ a ∣} a = \frac{∣ b ∣ \cos (β)}{∣ a ∣} a = \frac{∣ b ∣ (a \cdot b)}{∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ b ∣} a = \frac{(a \cdot b)}{∣ a ∣ ∣ a ∣} a

, weil

\cos (β) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

.

Denn Fall

β > 90

Grad muss man dann extra behandeln. Das kannst Du schon selber tun.

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