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Herleitung für die Formel von Rotationskörper

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Herleitung, Rotationskörper, volum

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10:38 Uhr, 14.04.2017

Hallo,
Ich war die letzte Woche aufgrund von gesundheitlichen Umständen nicht in der Schule und habe deswegen meine Mitschüler gefragt was sie im Kurs gemacht haben. Dabei habe ich erfahren, dass sie Rotationskörper um die x- und y-Achse dessen Herleitung behandelt haben.Da wir nächste Woche einen Test schreiben werden und ich die Herleitung bis dahin rechnerisch beweisen und verstehen muss, wollte ich fragen, ob mir jemand dies erklären könnte ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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abakus

10:49 Uhr, 14.04.2017

Wenn du einen Rotationskörper senkrecht zur Rotationsachse in sehr viele schmale Scheiben zerschneidest, ist jede dieser Scheiben näherungsweise ein Kreiszylinder.
Das Volumen des Rotationskörpers erhält man, indem man die Volumina dieser (unendlich vielen, dafür aber auch unendlich dünnen) Kreiszylinder addiert.

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10:54 Uhr, 14.04.2017

Und wie kann man so etwas rechnerisch darstellen ?

abakus

10:59 Uhr, 14.04.2017

Das ist eine sehr schnelle Rückfrage in einer so kurzen Zeit, die kaum Raum für eigene Bemühungen lässt.
Versuche es mal mit einer Suchmaschine deiner Wahl und den Suchbegriffen "Volumen Rotationskörper".

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11:14 Uhr, 14.04.2017

Also hinter meiner Frage steckt sehr viel Bemühung, ich sitze nun seit 2 Tagen an diesem Beweis und komme nicht auf die vorgegebene Formel. Ich habe es versucht mit der Untersumme zu beweisen, jedoch geht dies nicht da ich zum Schluss das

f (x))^{2}

in meiner Rechnung habe und dies nicht zum Ergebnis führt. Ein andere Weg fällt mir nicht ein, man kann den Körper nur in n-Teile zerlegen und dann die Vorgehensweise wie bei der Untersumme anwenden.Und der Grund wieso ich so schnell antworten ist, dass ich hier schlechte Erfahrungen gesammelt habe, weil ich zu spät geantwortet habe (wobei ich in dieser Zeit nur versucht habe etwas nachzurechnen ).

Respon

11:32 Uhr, 14.04.2017

Nachdem du Untersumme und Obersumme erwähnt hast nehme ich an, dass du mit diesen Begriffen vertraut bist.
Allgemein ( Flächenberechnung

), f (x),

Intervall

[a; b]

wird in

n

Teilintervallen zerlegt.

U = \sum_{i = 0}^{n - 1} Δ x \cdot f (x_{i})

O = \sum {(i = 1)}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

\Rightarrow

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} Δ x \cdot f (x_{i}) = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i}) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Und nun wende das für deinen Rotationskörper an.

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11:55 Uhr, 14.04.2017

U = \sum_{i = 1}^{n} π * (f (x_{i}))^{2}) * ∆ x

O = \sum {i = 1}^{n} π * (f (x_{i})^{2}) * ∆ x

lim_{n \to \infty} U = lim_{n \to \infty} O = \int_{a}^{b} π * (f (x))^{2}

Stimmt das so ?

Roman-22

11:59 Uhr, 14.04.2017

Bist du dir sicher, dass du für deinen Test tatsächlich die Herleitung der Formel parat haben musst oder ist es nicht doch eher so, dass du die Formel anwenden können sollst?

In jedem Fall wird es doch vielleicht ein Lehrbuch geben, an das man sich halten kann, und/oder den Aufschrieb deiner Mitschüler. Wenn du dann davon etwas nicht verstehst, kannst du ja detailliert und konkreter hier nachfragen.

Außerdem wurde dir ja schon der Tipp gegeben, in den Weiten des Netzes nach Herleitungen dieser Formel(n) zu suchen und die gibts da ja in der Tat wie Sand am Meer, sei es als Webseite, als PDF oder auch als Video.
Eine sehr aufwändige/ausführliche ist zB hier zu finden

\to

www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/mak/dateien/22.htm
Meist wird die Formel ja etwas salopper hergeleitet, aber das kannst nur du wissen, wie ausführlich das von euch erwartet wird (wenn überhaupt).

Respon

12:00 Uhr, 14.04.2017

Editorfehler in der zweiten Zeile. Beim Integral fehlt

d x

.
Da du eingangs "Schule" gesagt hast - so oder ähnlich findest du die Formulierung in den Schulbüchern der Oberstufe.
"Technische" Probleme können dann in der Praxis bei bestimmten Funktionen auftauchen.

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