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Herleitung nichtlineare Regression Kreisgleichung

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Tags: Herleitung, Kreisgleichung, Methode der kleinsten Quadrate, mittelpunktsgleichung, nichtlinear, regression

Niklas87 aktiv_icon

14:50 Uhr, 25.03.2011

Es sind eine bestimmte Anzahl von Messpunkten gegeben

(x

und

y

Koordinaten) die in etwa einen Kreis ergeben sollen. Mit Hilfe nichtlinearer Regression soll nun der Radius bestimmt werden (Methode der kleinsten Fehlerquadrate).

Die Formel dafür habe ich bereits und sie funktioniert:

http//img189.imageshack.us/img189/5499/radiusermittlung.jpg

Ursprungsformel könnte die Kreisgleichung

{(x - c)}^{2} + {(y - d)}^{2} = r^{2}

oder
die Mittelpunktsgleichung

r^{2} = x^{2} + y^{2}

sein.

Für Ideen und Lösungsansätze für eine nachvollziehbare Herleitung wäre ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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OmegaPirat

17:46 Uhr, 25.03.2011

Hallo
Du musst die mittlere quadratische Abweichung der Punkte von der vorgegebenen Kurve (hier ein Kreis) minimieren,

d . h

. du musst den Ausdruck

Δ^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k} {(y_{k} - \sqrt{r^{2} - {(x_{k} - x_{0})}^{2}} - y_{0})}^{2}

bzgl. der Parameter

r, x_{0}

und

y_{0}

minimieren. Dabei ist

(x_{0}, y_{0})

der Kreismittelpunkt.

r

ist der Kreisradius.

N

ist die Zahl der Punkte.

Die Rechnung wird sehr länglich werden.

Niklas87 aktiv_icon

10:38 Uhr, 26.03.2011

Danke, das ist ja schon mal ein guter Ansatz. Aber welche Differenz soll denn hier das

Δ

darstellen? Hast du die Formel irgendwo her? Wenn, ja woher?

OmegaPirat

18:31 Uhr, 27.03.2011

Hallo

Es geht ja letztlich darum, dass du die Punkte durch einen Kreis beschreibst, so dass die Punkte möglichst dicht bei der Kreislinie liegen.
Als Maß dafür nimmt man die Abweichung eines Punktes von der Kreislinie und summiert all diese Abweichungen. wenn die Kreislinie durch eine Funktion

y

beschrieben wird und

y_{0}

die y-Koordinate eines Punktes ist, so ist

y_{0} - y

die Abweichung. Wenn

y_{0}

unterhalb der Kreislinie liegt, ist

y_{0} - y

negativ. So können sich leider positive und negative beiträge kompensieren. Um dieses Problem zu umgehen summiert man die Quadrate der Abweichungen, da quadrate immer positiv sind.

Ich rechne dir das mal am Beispiel der linearen Regression vor.
In diesem Fall hat die Funktion die Form y=mx+b
Damit ist die mittlere quadratische Abweichung der

N

Punkte

Δ^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(y_{n} - m x_{n} - b)}^{2}

Nun muss ich diesen Ausdruck bzgl.

m

und

b

minimieren

\Rightarrow 0 = \frac{d Δ^{2}}{d b} = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (y_{n} - m x_{n} - b) = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} y_{n} + 2 \frac{m}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n} + 2 \frac{b}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} 1

Das lässt sich noch ein wenig vereinfachen und es lassen sich folgende Abkürzungen einführen

y_{M} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} y_{n}

ist das arithmetische Mittel der y-werte der Punkte

x_{M} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}

ist das arithmetische Mittel des x-Wertes
Außerdem ist

\sum_{n = 1}^{N} 1 = N

\Rightarrow - y_{M} + m x_{M} + b = 0

Jetzt muss man noch bzgl.

m

minimieren

\Rightarrow

0 = \frac{d Δ^{2}}{d m} = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} [x_{n} \cdot (y_{n} - m x_{n} - b)]

= - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} \cdot y_{n}) + 2 \frac{m}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(x_{n})}^{2} + 2 \frac{b}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n} = - 2 \cdot {(x \cdot y)}_{M} + 2 m \cdot x_{M}^{2} + 2 b x_{M}

Dabei ist

x_{M}^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(x_{n})}^{2}

der mittelwert der Quadrate der x-Werte der Punkte
und

{(x \cdot y)}_{M} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} \cdot y_{n})

\Rightarrow

- {(x \cdot y)}_{M} + m \cdot x_{M}^{2} + b x_{M} = 0

Jetzt muss man nur noch das Gleichungssystem

- y_{M} + m x_{M} + b = 0

- {(x \cdot y)}_{M} + m \cdot x_{M}^{2} + b x_{M} = 0

nach

m

und

b

auflösen

\Rightarrow m = \frac{x_{M} y_{M} - {(x y)}_{M}}{{(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}}

und

b = \frac{{(x y)}_{M} x_{M} - y_{M} x_{M}^{2}}{{(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}}

Hier sind noch weitere Abkürzungen möglich, so ist

σ_{x^{2}} = {(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}

die Varianz der x-werte
und

σ_{x y} = (x_{M} y_{M} - {(x y)}_{M})

die Kovarianz
Daraus folgt folgende kompakte darstellung

m = \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}}

und

b = - \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x_{M}

Und damit ist die optimale geradengleichung

y = \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x - \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x_{M}

Beim Kreis ist die rechnung völlig analog nur, dass du nun statt der geradengleichung die kreisgleichung verwenden musst und du hast beim kreis drei parameter, die zu optimieren sind. Evt. ist es auch von Vorteil alles in Polarkoordinaten zu formulieren. Die Rechnung ist beim Kreis auch deutlich aufwendiger.

Niklas87 aktiv_icon

21:54 Uhr, 27.03.2011

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, du hast mir sehr geholfen.

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