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Integral direkt und mit Satz von Green

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Dreieck, Green, Integration, Parameterdarstellung, Parametrisieren, parametrisierung, Satz

Manuel91 aktiv_icon

23:35 Uhr, 29.11.2017

Hey Leute, eine kurze Frage:

Folgendes Beispiel:

Gegeben sei das durch die Geraden

y = 2 x, y = x

und

x = π

begrenzte Dreieck

D

sowie das Vektorfeld

u = (\begin{matrix} cos (y) \\ 1 \end{matrix})

. Berechnen Sie

\int \int_{D}

rot

\cdot \vec{u} d x d y

(a)

direkt.

(b)

mit Hilfe des Integralssatzes von Green.

Punkt

b

habe ich schon erledigt. Nur wie kann ich das Dreieck parametrisieren und damit mein Integral direkt berechnen? Ich stehe diesbzgl. leider auf dem Schlauch...
Skizziert habe ich es schon, also ich kenne die Integrationsgrenzen von

x, (0, π)

und

y, (π, 2 \cdot π)

.
Wäre toll wenn mir jemand die Parameterform über die ich integrieren kann sagen könnte, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

00:49 Uhr, 30.11.2017

Hallo
du willst doch nicht das Dreieck parametrisieren, das gibt doch nur die Grenze deines Integrals?
parametrisieren willst du die Geraden für die Integration über den Rand also die Anwendung von Green.
also die Gerade

y = x z

B

mit

x = t, y = t t

von 0 bis

π

Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

01:12 Uhr, 30.11.2017

Ok verstehe. Nur wenn die Gerade

y = x

lautet also

y

und

x

gleich sind warum ist dann meine Parametrisierung

x = t

und

y =,

sollten bei dieser Geraden nicht

x

und

y

gleich parametrisiert werden?
Wäre nicht bei der Geraden

y = 2 x

die Parametrisierung

x = t

und

y =

bzw

y = 2 t

eine Möglichkeit?
Irgendwie vrsteh ich das noch nicht ganz

: S

Manuel91 aktiv_icon

01:15 Uhr, 30.11.2017

Ich müsste doch auch 3mal integrieren da ich ja 3 Geraden habe oder?

ledum aktiv_icon

11:14 Uhr, 30.11.2017

Hallo

y = x

folgt

x = t, y = t,

das andere war ein Tipfehler
beim Linienintegral musst hast du 3 Integrale über die einzelnen Strecken. beim Integral über die Fläche hast du die Geraden als Grenzen. du sagtest doch

b)

also das Integral über den Rand hast du schon? Viellicht schreibst du genauer auf, was du gemacht hast, und was dir fehlt?
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

11:58 Uhr, 30.11.2017

Bei

b)

habe ich

\int_{0}^{π} \int_{x}^{2 x} 0 - (- sin (y)) d y d x,

also einfach den Integralsatz von Green angewandt. Also die y-Koordinate des Vektorfeldes nach

x

abgeleitet minus die x-Koordinate des Vektorfeldes nach

y

abgeleitet integriert in meinen Grenzen. Das ist kein Problem nur wie berechne ich das Ganze ohne Green?

ledum aktiv_icon

20:23 Uhr, 30.11.2017

Hallo
du nennst

b)

was in

a)

verlangt war. Green sagt, dass man über den Rand integrieren kann.
also musst du den Rand als Kurve schreiben und zuerst das linienintegral

\int_{0}^{π} (u (c (t) \cdot c' (t) d t

berechnen mit

c (t) = (t, t)

dann dasselbe mit

c = (π, t) t = π

bis

2 π

und dann zurück auf

(t,2 t)

mit

t = π

bis 0
Gruss ledum

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