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Komplexe Gleichung durch Faktorisieren lösen.
Universität / Fachhochschule
Tags: faktorisieren, komplexe Lösungen
 
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Hallo, die folgende Gleichung sollte in einer Klausur gelöst werden: . Die reelle Lösung ist praktisch sofort sichtbar und lautet . Die Polynomdivision durch führt jedoch in eine Sackgasse; und es ist keine der komplexen Lösungen vorgegeben. Zum Ziel kommt man durch Faktorisieren des Polynoms: Für dieses konkrete Beispiel leuchtet mir die Faktorisierung ein. Aber wie geht man allgemein vor? Gibt es eine Art "Algorithmus"? Beispiel: Ohne die Vorgabe der Lösung wüsste ich nicht, wie ich hier die Gleichung so faktorisiere, dass die komplexen Lösungen problemlos berechnet werden könnten: . ist die dritte Lösung) Danke für Eure Hilfe. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung) |
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Hier mein Lösungsversuch; allerdings hätte der viiiel länger gedauert, hätte ich mich nicht an die Lösungen oder erinnert. |
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Mit dem Ansatz kommst Du auf Gleichungen , , und . Im allgemeinen Fall ist so ein System schwer zu lösen, aber wenn man nur "vernünftige" Lösungen sucht, ist es relativ einfach. Aus würde man eine von Varianten ; ; und erwarten (aus Symmetriegründen sind es eigentlich nur Varianten). Und tatsächlich führt einen davon () zum Ziel. |
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Hallo, anderer Ansatz: Man könnte . testen, ob es rein imaginäre Lösungen gibt. Wenn es rein imaginäre Lösungen gibt, so sind diese gemeinsame Lösungen der beiden "Teilsummen": UND bzw. UND Hier erkennt man in der zweiten Gleichung gleich die beiden rein imaginären Lösungen und die kann man in die zweite Gleichung einsetzen. Ansonsten müsste man die erste Gleichung lösen, was aber bei einer biquadratischen Gleichung kein Kunststück ist. und Damit ist eine Lösung für zwei rein imaginäre und konjugiert komplexe Zahlen. Hat man die erste Gleichung . mittels p-q-Formel gelöst oder die Polynomdivision durchgeführt mit dann erhält man, dass ist. Das ergibt im Ganzen: |
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Danke DrBoogie und Bummerang. Der Ansatz, die Gleichung zunächst auf rein imaginäre Lösungen zu testen, ist mir völlig neu, obwohl er so nahe liegt. Unter Umständen lässt sich so viel Zeit in einer Klausur sparen, wie eben auch in der diskutierten Aufgabe. |
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