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Konkrete Herleitung einer Drehmatrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: drehmatrix, Herleitung, Matrizenrechnung

 
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flauschig

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17:03 Uhr, 20.01.2018

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Hallo ihr,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

"Bestimmen Sie (durch konkrete Herleitung) alle Matrizen M element M22

M=(a,b,c,d)

mit der Eigenschaft, dass M Drehmatrix ist und geben Sie die Form der Matrizen konkret an."


Ich habe mich damit schon was auseinandergesetzt und herausgefunden, dass jede Drehmatrix orthogonal (M-1=MT) sein muss und die det(M)=1.
Ich habe das dann die Eigenschaft angewendet und mir dann 4 Gleichungen aufgebaut und diese mit LGS bearbeitet, um die Form angeben zu können.

Ich bin mir sehr sicher, dass die Matrix bzw. die Form am Ende richtig ist (siehe Anhang):

M=(a,b,-b,a).

Nur bin ich mir nicht so sicher, ob der Lösungsweg richtig und vollständig ist.
Ich habe ja im Endeffekt noch gar nicht die det(A)=1 betrachtet bzw. miteinbezogen. Müsste man das überhaupt auch machen? Und vor allem wie?
Was sagt ihr zu der Lösung?

Danke schon mal im Voraus :-)


IMG_0693

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

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01:11 Uhr, 21.01.2018

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Hallo
die Spalten der Matrix, sind die bilder der Standardbasis. also musst du nur zeigen, wohin die bei Drehung um α abgebildet werden.
Gruß ledum
flauschig

flauschig aktiv_icon

15:46 Uhr, 21.01.2018

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Hallo, erstmal danke für deine Antwort.
Du meinst dann das was ich im Anhang gehängt habe oder?

Nur ich frag mich, wie kann ich dann daraus die Herleitung zu der Form machen:
M=(a,b,-b,a)
Ich muss das ja konkret herleiten können. Das ist irgendwie mein Problem. Das zu verstehen bzw. wie das geht. Kannst du mir das genauer erklären?

Würde mich über eine Antwort freuen.



grafikj_amthe
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ermanus

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17:16 Uhr, 21.01.2018

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Hallo,
die von dir gefundene Form einer Matrix A mit AT=A-1 und det(A)=1
ist vollkommen OK, aber noch unvollständig. Die Spalten deiner Matrix sind zwar
orthogonal, aber du hast noch nicht berücksichtigt, dass aus ATA=I2
auch folgt: a2+b2=1. Damit weißt du insbesondere, dass ∣a∣≤1
ist und b=1-a2 sein muss. Damit kannst du den Ansatz a=sin(φ),b=???
machen ...
Gruß ermanus
flauschig

flauschig aktiv_icon

18:26 Uhr, 21.01.2018

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Vielen Dank schon mal für die Antwort.
Also ich habe mir dann durch A⋅AT=I dann 4 Gleichungen erstellen können. Die eine hast du ja schon genannt:

1.)a2+b2=1
2.) ac + bd =0
3.) ca + db =0
4.)c2+d2=1

Durch das Umstellen der ersten Gleichung, komme ich auf ∣a∣≤1 und b= Wurzel(1 -a2).
So wie du gesagt geschrieben hast. Und weis nun, dass a nun kleiner oder gleich 1 ist und b entsprechend zwischen 0 und kleiner 1 liegen muss.

Kannst du mir vielleicht erklären bzw. den weiteren Ablauf wie ich dann damit weis, dass a=sin(φ) wird?

Für b,c, und d probiere ich das dann alleine.
Antwort
ermanus

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18:34 Uhr, 21.01.2018

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Oh, du hast doch schon mehr rausbekommen, nämlich dass deine Matrix die Gestalt

(ab-ba) hat.

Das war doch vollkommen OK!
Um b und c musst du dich also gar nicht mehr kümmern!

Nun wissen wir aber noch zusätzlich durch a2+b2=1, dass das Paar (a,b) ein
Punkt auf dem Einheitskreis ist, d.h. die Form (cos(φ),sin(φ)) haben muss,
da alle Punkte auf dem Einheitskreis so aussehen ...
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