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Kugel rollt auf Ebene entlang einer Geraden

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: eben, Gerade, Kugel, Sonstig

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13:16 Uhr, 13.04.2024

Hallo zusammen

Es geht um die im Anhang angehängte Aufgabe

c

. Ich habe bereits mehrere Anläufe genommen bin jedoch immer daran gescheitert diesen Punkt auf der Geraden zu berechnen.

Meine letzte Idee war dass der Abstand zwischen Gerade und Ebene dem Durchmesser der Kugel entsprechen muss und dass der Punkt

B

auf der Geraden

g

liegt.
Dies ergab mir ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten und vier Gleichungen. Leider kam ich nicht auf den richtigen Punkt.

Hat jemand einen Ansatz oder weiss jemand was ich falsch überlege?

Die Lösung ist ebenfalls im Anhang.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

13:32 Uhr, 13.04.2024

c)

Die Begriffe "hindurchschlüpft" und "berührt" sollten wachsam machen, dass hierfür eine bestimmte Beziehung zwischen

>

Gerade

g

>

und dem Kugel-Radius zum Berührpunkt "B"
besteht, nämlich....
Eine gute Skizze hierzu wird helfen.

Organical aktiv_icon

15:53 Uhr, 13.04.2024

Die Gerade

g

und der Kugelradius von

M

B

stehen senkrecht aufeinander.
Jedoch kann ich den Mittelpunkt der Kugel nicht parametrisieren.

calc007

16:24 Uhr, 13.04.2024

Wie hast du's denn probiert?

>

Der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene

E

ist gleich Kugelradius.

>

Der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Gerade

g

ist gleich Kugelradius.

>

Dieser 'Abstand' zum Kugelmittelpunkt und die Gerade bilden einen rechten Winkel.
Das sollte eigentlich für ein drei-dimensionales Problem genügen...

Ich hab's noch nicht zu Ende geführt.
Sonst ist vielleicht noch eine vierte Bedingung hilfreich:
Die Kugel sollte sich doch in der Ebene befinden, die die Gerade und ihre Projektion auf die Ebene bilden.

KartoffelKäfer aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.04.2024

Diese Aufgaben müssen Dir doch langsam an den Ohren rauskommen.

Immer dasselbe, irgendwelche Strichlis im

R^{3}

und dann bastelt man sich was,

so elementargeometrisch...

a)

E = {x, y \in R^{3} : 5 x + 12 z = 600} = {(\begin{matrix} 120 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) : p, q \in R},

n' := (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \frac{12}{5} \end{matrix}), n := \frac{n'}{| n' |} = (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix}),

M + r' n = (\begin{matrix} 17 \\ 10 \\ 57 \end{matrix}) + r' (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix}) \in E

\Leftrightarrow 5 (17 + r' \frac{5}{13}) + 12 (57 + r' \frac{12}{13}) = 600

\Leftrightarrow r' = - 13

\Rightarrow r = | r' | = 13

.

Zur stabilen Lage:

An der Parameterdarstellung von

E

sieht man sofort,

dass

{q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \end{matrix}) : q \in R, q < 0}

(das ist die entsprechend gerichtete Projektion

von

{q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) : q \in R}

auf die

x - y -

Ebene

),

die "Rutschrichtung" von

E

(genauer deren Projektion auf die

x - y -

Ebene) ist,

und die

x - y -

Projektion von

M_{0} - P = (\begin{matrix} 53 \\ 0 \\ - 10 \end{matrix}),

also

(\begin{matrix} 53 \\ 0 \end{matrix}),

ist Element dieser Menge.

Wer das noch in eine Rechnung kleiden möchte, mag zeigen,

dass

\frac{p \cdot 0 + q \cdot 1}{| p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

(das ist so etwas wie die Menge der

z -

Steigungen von

E)

für

p = 0

und alle

q < 0

minimal ist

(was man sowieso auch schon sofort sieht).

Mathe45

12:20 Uhr, 14.04.2024

tilt

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13:50 Uhr, 20.04.2024

Vielen Dank für eure Hilfe.

KartoffelKäfer aktiv_icon

19:06 Uhr, 20.04.2024

b)

Wir formulieren die drei Gleichungen

(I) M_{1} = M_{0} + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}),

(I I) ((\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - M_{1}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) = 0,

(I I I) | M_{1} - (\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) - t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix})) | = r

(I I)

liefert

((\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - M_{0} - q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) = 0

\Leftrightarrow ((\begin{matrix} 7 \\ \frac{51}{4} \\ - 17 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) = 0

\Leftrightarrow 12 (7 + 12 t + \frac{12}{5} q) - (\frac{51}{4} - t) + 12 (- 17 + 12 t - q) = 0

\Leftrightarrow t = - \frac{84}{1445} q + \frac{531}{1156}

.

Und das in

(I I)

mit

(I)

dann

| (\begin{matrix} 17 \\ 10 \\ 57 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) - (- \frac{84}{1445} q + \frac{531}{1156}) (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix})) | = 13

\Leftrightarrow q \in {- \frac{78199}{8357}, - 5},

Nun liefert das größere

q

mit

(I)

tatsächlich

M_{1} = (\begin{matrix} 17 \\ 10 \\ 57 \end{matrix}) - 5 (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 29 \\ 10 \\ 52 \end{matrix}),

wie gewünscht.

KartoffelKäfer aktiv_icon

08:21 Uhr, 21.04.2024

c)

Sei

H

(wie Hilfspunkt) die Mitte der Kugel beim Durchschlupf.

Mit der Ebenenparametrisierung, der Geradengleichung und

n

können wir fünf Gleichungen formulieren:

(I) B = (\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}),

(I I) (B - H) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) = 0,

(I I I) | B - H | = 13,

(I V) H = (\begin{matrix} 120 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + 13 (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 125 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}),

(V) H = (\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + u (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix})

.

Mit

(I V) = (V)

findet man

u (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} \frac{12}{5} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 101 \\ - \frac{91}{4} \\ - 28 \end{matrix})

\Rightarrow p = - u + \frac{91}{4}, q = - \frac{420}{169} u + 40

.

Das in

(I V)

eingesetzt und

(I I)

mit

(I V)

und

(I)

gibt dann

0 = ((\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 125 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) - (- u + \frac{91}{4}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - (- \frac{420}{169} u + 40) (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix})

= 12 (24 + 12 t - 125 - (- \frac{420}{169} u + 40) (- \frac{12}{5}))

- (\frac{91}{4} - t - (- u + \frac{91}{4}))

+ 12 (40 + 12 t - 12 - (- \frac{420}{169} u + 40))

\Rightarrow u = \frac{169}{25} t - \frac{2028}{425}

.

Das mit

(I I I)

liefert

13 = | ((\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 125 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) - (- (\frac{169}{25} t - \frac{2028}{425}) + \frac{91}{4}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

- (- \frac{420}{169} (\frac{169}{25} t - \frac{2028}{425}) + 40) (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) |

= | ((\begin{matrix} - 101 \\ \frac{91}{4} \\ 28 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) - (\frac{46787}{1700} - \frac{169}{25} t) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\frac{4408}{85} - \frac{84}{5} t) (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) |

\Leftrightarrow 169 = {(- 101 + 12 t + \frac{12}{5} (\frac{4408}{85} - \frac{84}{5} t))}^{2} + {(\frac{91}{4} - t - (\frac{46787}{1700} - \frac{169}{25} t))}^{2}

+ {(28 + 12 t - (\frac{4408}{85} - \frac{84}{5} t))}^{2}

\Leftrightarrow t \in {\frac{26}{51}, \frac{39}{34}}

.

Mit

(I)

kann man damit

B = (\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) + \frac{39}{34} (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 37,7647 \\ 21,6029 \\ 53,7647 \end{matrix})

angeben.

Die Musterlösung ist falsch

(man erhält sie durch

(\begin{matrix} 24 \\ \frac{91}{4} \\ 40 \end{matrix}) - \frac{39}{34} (\begin{matrix} 12 \\ - 1 \\ 12 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 10,2353 \\ 23,8971 \\ 26,2353 \end{matrix})),

weil garnicht möglich, weil die Kugel dafür die Ebene hinauf rollen müsste,

was man mit der

x -

Komponente

10,2353

und der

x -

Komponente

29

von

M_{1}

schon entlarven kann (denn

B_{x} > H_{x} > M_{1_{x}})

.

Bei der Berechnung der Musterlösung hat der Hersteller

wahrscheinlich in

(I V)

die Normale

n

von

E

falschrum aufgepflanzt, also

(I V) H = (\begin{matrix} 120 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - 13 (\begin{matrix} \frac{5}{13} \\ 0 \\ \frac{12}{13} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 115 \\ 0 \\ - 12 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - \frac{12}{5} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

statt wie oben formuliert. Damit kriegt man dann genau die Negativen der

t' s

wie oben,

da der Aufpunkt von

g

Element von

E

ist.

1584876

1584592

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