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Kurvendisskusion einer Funktionsschar

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Steigung, Tangent, Wendepunkt

paula1 aktiv_icon

16:05 Uhr, 31.05.2010

Zeige, dass die Gleichung der Wendetangente der Funktionnsschar
fa(x)=

x^{3} + x^{2} + a \cdot x

t (x) = - \frac{1}{27}

lautet

(a

größer als Null)

fa''(x)= 0 (Hier liegt ein Wendepunkt vor)
fa''(x)=

6 x + 2

0 = 6 x + 2

- \frac{2}{6} = x

- \frac{1}{3} = x

Wendepunkt bei

x = - \frac{1}{3}

(Überprügung mithilfe der dritten Ableitung

f (x) = 6

ergibt immer einen Wert ungleich

0,

daher liegt hier tatsächlich ein Wendepunkt vor)

Berechnung der Steigung im Wendepunkt:

fa'(x)=

3 x^{2} + 2 x + a | x = - \frac{1}{3}

fa'(-1/3)=

- \frac{1}{3} + a

Die Steigung im Wendepunkt ist also abhängig vom für a eingesetzen Wert.
Die Aufgabenstellung fordert ja aber zu zeigen dass die Steigung in der Wendetangente stets

- \frac{1}{27}

ist. Nur ist das durch den selben x-Wert im Wendepunkt ja noch lange nicht gegeben und es gibt meiner Meinung nach nur eine aus der Funktionsschar entstehende Funktion, die tatsächlich eine Steigung von

- \frac{1}{27}

im Wendepunkt aufweist:

(f (x) = x^{3} + x^{2} + \frac{8}{27} x)

Habe ich vielleicht die Frag falsch interpretiert?
Oder seht ihr irgendwo in der Rechnung einen Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

16:51 Uhr, 31.05.2010

Hallo,

irgendetwas stimmt bei Deiner Fragestellung nicht.

Die Gleichung der Wendetangente ist

y = m \cdot x + b

Dabei ist die Steigung, wie Du richtig berechnet hast:

- \frac{1}{3} + a

Um das

b

zu berechnen, setzt Du nun den Wendepunkt in Deine Gleichung ein.
Der y-Wert des Wendepunkts ist genau fa(-1/3)

= - \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} \cdot a

Also:

- \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} \cdot a = (- \frac{1}{3} + a) \cdot (- \frac{1}{3}) + b

b = - \frac{1}{27}

Also lautet Deine Wendetangentengleichung:

t (x) = (- \frac{1}{3} + a) \cdot x - \frac{1}{27}

Alles klar?
Entweder ist die Aufgabe falsch gestellt und es sollte eigentlich heißen: "Zeigen Sie, dass der y-Achsenabschnitt der Wendetangentengleichung stets

- \frac{1}{27}

ist" oder aber es ist sonst irgendwo was falsch beschrieben in Deiner Aufgabe...

paula1 aktiv_icon

17:10 Uhr, 31.05.2010

Ah danke, ja so macht es Sinn. Die Frage habe ich so aus der Klausur übernommen.. Dachte mir schon, dass die einfach sehr unverständlich gestellt sein muss.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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