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Log von 3 zur Basis 8

Universität / Fachhochschule

Tags: Logarithmen, Logarithmengesetze, Logarithmieren, Logarithmus, Logarithmusfunktion

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11:21 Uhr, 21.09.2023

Wie berechne ich ohne Taschenrechner am schnellsten den

log (3)

zur Basis 8?

Und ist es eigentlich normal, dass ich beim Formeleditor nichts schreiben kann? Habe es mit mehreren Browsern versucht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:33 Uhr, 21.09.2023

Geht es um

l o g_{8} (3)

?
Und was meinst du mit "berechnen" ?

l o g_{8} (3) = 0,5283208335737187271512463146492721695866048025641603534852508848 . .

.
Man kann den Term allerdings umformen:

\frac{ln (3)}{ln (8)} = \frac{ln (3)}{3 \cdot ln (2)} = . .

calc007

11:45 Uhr, 21.09.2023

"Wie berechne ich ohne Taschenrechner am schnellsten..."
Das lässt erahnen, dass du irgendwie erhoffst, es gäbe einen analytisch Schüler-primitiven Weg.
Da muss ich dich enttäuschen.
So ganz einfach wie

1 + 1

ist das nicht. Das Ergebnis ist nun mal reell ein wenig komplexer.

Sei aber gewiß, schon zu Gauß'schen Zeiten gab's Dinge wie

>

Rechenschieber

>

Logarithmentabellen

>

numerische Verfahren

>

Papier und Bleistift

>

oder weitere...
Was davon du für "am schnellsten" hältst, hängt natürlich sehr von deinen Vorlieben und Vorkenntnissen ab.
Ich will aber vermuten, in Zeiten Taschenrechner-verwöhnter neuzeitlicher Studenten ist das alles nicht wirklich das, was du eigentlich willst.

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11:48 Uhr, 21.09.2023

in der Klausur dürfen wir den TR leider nicht benutzen

calc007

11:51 Uhr, 21.09.2023

Das beantwortet immer noch nicht die Rückfrage nach deinen Vorlieben und Vorkenntnissen zu

>

Rechenschieber

>

Logarithmentabellen

>

numerischen Verfahren

>

Papier und Bleistift
oder was du denn nun wirklich willst.

Versetz dich doch mal in unsere Lage. Was sollten wir denn auf deinen Einwurf wohl bestens antworten?

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11:51 Uhr, 21.09.2023

Ja genau, wie schreibt man es so wie du?
Sorry habs vergessen. Mit berechnen meine ich, wie ich schnell darauf komme, dass es kleiner als

\frac{1}{2}

ist.

calc007

11:55 Uhr, 21.09.2023

Wenn man erkennt, dass

{log}_{9} (3) = \frac{1}{2}

ist, dann ist es zu

{log}_{8} (3) > \frac{1}{2}

nicht sehr weit.

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12:06 Uhr, 21.09.2023

danke :-)

Randolph Esser aktiv_icon

12:20 Uhr, 21.09.2023

Falls sich jemand für eine Herleitung dieser Regel interessiert:

\forall a, b \in R_{> 0}, q \in R :

p := a^{q} = b^{{log}_{b} (a) \cdot q} \Rightarrow \frac{{log}_{b} (p)}{{log}_{b} (a)} = \frac{{log}_{b} (a) \cdot q}{{log}_{b} (a)} = q = {log}_{a} (p),

also

\frac{{log}_{b} (p)}{{log}_{b} (a)} = {log}_{a} (p)

.

Somit

{log}_{8} (3) = \frac{ln (3)}{ln (8)} \approx 0,52832

und letzteres kann jeder TR.

Randolph Esser aktiv_icon

13:08 Uhr, 21.09.2023

Und in der Klausur ohne TR ist

\frac{ln (3)}{ln (8)} = \frac{ln (3)}{ln (2^{3})} = \frac{ln (3)}{3 \cdot ln (2)}

eben dann

\frac{ln (3)}{3 \cdot ln (2)},

fertig.

Auf Teufel komm raus "ausrechnen" könnte man es mit

ln (1 + x) = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} \frac{x^{k + 1}}{k + 1} + R_{n + 1}

für

- 1 < x \leq 1

und mit

| R_{n + 1} | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1) \cdot (1 - | x |)},

z . B

ln (3) = - ln (\frac{1}{3}) = - ln (1 - \frac{2}{3}) \approx \sum_{k = 0}^{3} \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{k + 1}

= \frac{2}{3} + \frac{4}{18} + \frac{8}{81} + \frac{16}{324} = \frac{28}{27} \approx 1,037

mit einer Abweichung

\leq \frac{2^{4}}{3^{3} \cdot 4} = \frac{16}{108} \approx 0,14815

zum "exakten" Resultat

ln (3) \approx 1,09861

(was noch nicht besonders genau ist).

Mehr dazu noch hier

de.m.wikipedia.org/wiki/Logarithmus .

calc007

13:57 Uhr, 21.09.2023

um noch deine Frage nach der Formelschreibweise zu beantworten:
wenn du hier
"log_8(3)"
ohne die "Anführungsstrichen" schreibst,
dann zeigt dieser Formelbrowser dies an als:

{log}_{8} (3)

1576006

1575976

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