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Logarithmus in Logarithmusfunktion einbringen

Schüler

Tags: Logarithmus, Logarithmusfunktion

Dunkler

17:53 Uhr, 25.09.2014

Guten Tag,
wenn ich Beispielsweise folgenden Ausdruck:

2^{2 x + 2} = 3^{2 x + 2}

habe, dann kann ich ja umformen zu:

2 x + 2 \cdot ln 2 = 2 X + 2 \cdot ln 3

.

(Könnte

ln

auch log,… sein?)

Doch was steckt da eigentlich dahinter?

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

17:58 Uhr, 25.09.2014

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

z . B

. Basis

e (

natürlicher Logarithmus )

e^{b} = a \Leftrightarrow b = ln (a)

( In deinem Beispiel ist die Basis des verwendeten Logarihmensystems irrelevant )

Respon

18:07 Uhr, 25.09.2014

Dein Beispiel ist sehr einfach, da ist ein Logarithmus nicht notwendig.

Dunkler

18:36 Uhr, 25.09.2014

Tag,
danke für Deine schnelle Antwort.
Aber leider verstehe ich es immer noch nicht so ganz.

Wenn ich es nach dem Muster

a^{x} = b

(Da fällt mir eine weitere Frage ein, warum nimmt man eigentlich e? 2 bzw. 3 ist ja ungleich

e)

für beide Seiten betrachte müsste doch eigentlich das herauskommen:
Log(2)(3^(2x+2))

\cdot 2 x + 2 = 2 x + 2 \cdot

Log(3)(2^(2x+2))

Was steckt also hinter dieser Umformung.
Verhält es sich wie wenn man eine Funktion mit einer Zahl durchmultipliziert?

MfG
Dunkler

Respon

18:39 Uhr, 25.09.2014

Offensichtlich gibt es da ein Verständnisproblem bezüglich Definition von Logarithmus.
eventuell die Unterlagen nochmals durchackern oder hier de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

Dunkler

20:03 Uhr, 25.09.2014

Guten Tag,
ich habe mir nun mal den Wikipedia Artikel und einige andere Seiten durchgelesen,
aber ich finde nirgends etwas zu meinem Problem.
Wo vermutest du mein Verständnis Problem?

Das einzige das ich fand,
war das hier: www.mac.gmxhome.de/Mathe/exponential.htm#el7
Aber da wird der Schritt den ich nicht nicht versteh auch nur angewand.

MfG
Dunkler

Respon

20:05 Uhr, 25.09.2014

"(Da fällt mir eine weitere Frage ein, warum nimmt man eigentlich e? 2 bzw. 3 ist ja ungleich e)"

2 und 3 haben mit der Basis des natürlichen Logarithmuses nicht zu tun.

Respon

20:10 Uhr, 25.09.2014

Ohne Logarithmus ( mit allen - nicht unbedingt notwendigen - Zwischenschritten )

2^{2 \cdot x + 2} = 3^{2 \cdot x + 2}

2^{2 \cdot x} \cdot 2^{2} = 3^{2 \cdot x} \cdot 3^{2}

\frac{2^{2 \cdot x}}{3^{2 \cdot x}} = \frac{3^{2}}{2^{2}}

\frac{4^{x}}{9^{x}} = \frac{9}{4}

{(\frac{4}{9})}^{x} = \frac{9}{4}

{(\frac{4}{9})}^{x} = {(\frac{4}{9})}^{- 1}

\Rightarrow x = - 1

Dunkler

20:20 Uhr, 25.09.2014

Tag,
vielen Dank für die Mühe die Du dir gemacht hast.

Doch leider hilft mir das wenig, mein Problem ist dass ich die Theorie nicht so recht verstehe,
wie man den

log,

ln

,… in die Gleichung einbringt.

((Beispielsweise) kenne ich das Logarithmus-Gesetzt, durch welches ich

2 x + 2

vor den

ln

bringe.
Mein Problem ist ich verstehe nicht, wie man da aus „heiterem Himmel“ ein

ln

einfügen kann.
Zumal

ln

ja auch noch für die Basis

e

ist)

Auch wie ich den

ln

wieder verschwinden lasse ist etwas Problematisch.
Bis jetzt habe ich immer die ganzen Terme zu dem Exponenten der jeweilig passenden Basis

(ln = e,

…) umgewandelt und dann Gekürtzt

(z . B

e^{ln (x)} = x)

.

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

Respon

20:26 Uhr, 25.09.2014

Vermutlich kann ich dir da nicht weiterhelfen ( oder ich müsste seitenweise aus Schulbüchern zitieren - die du ja sicherlich auch hast ).

Ma-Ma aktiv_icon

20:33 Uhr, 25.09.2014

Diese Aufgabe ist zur Veranschauöichung des Logarithmus (zumal mit

ln)

sehr ungeeignet.

2^{2 x + 2} = 3^{2 x + 2}

Substitution

a = 2 x + 2

2^{a} = 3^{a}

Somit sofort ersichlich:

a = 0

0 = 2 x + 2

x = - 1

Ein Logarithmus ist überhaupt nicht notwendig

...

Dunkler

20:47 Uhr, 25.09.2014

Tag,
das ist nur ein Beispiel, bitte versteift euch nicht darauf.
In diesem Fall kann man es vlt. So lösen,
aber bei der nächsten hätte ich wieder das Problem.

Bezüglich Schulbücher, die habe ich leider nicht … zumindest derzeit.
Auch im Internet findet man als erklärung nur, dass man Logarithmieren muss.

(Auf eiener Seite habe ich gelesen, das man Gleichungen,
in denen Summen oder Differenzen vorkommen, nicht logarithmiert werden können.
Da ich es aber nur auf dieser Seite gesehen habe bin ich mir doch etwas unsicher, stimmt das?)

MfG
Dunkler

Bummerang

07:40 Uhr, 26.09.2014

Hallo,

"(Auf eiener Seite habe ich gelesen, das man Gleichungen,
in denen Summen oder Differenzen vorkommen, nicht logarithmiert werden können.
Da ich es aber nur auf dieser Seite gesehen habe bin ich mir doch etwas unsicher, stimmt das?)"

Natürlich kann man jeden Term, der einen positiven Wert annimmt (notfalls muss man seinen Definitionsbereich beschränken) logarithmieren! So ergibt

a^{x} + b^{y}

durch logarithmieren

(z . B

. zur Basis

n) : {log}_{n} (a^{x} + b^{y})

. Nur hilft einem das Logarithmieren bei der Suche nach der Lösung nur dann etwas, wenn man den entstandenen Term durch Logarithmengesetze auch umformen kann. Kennst Du ein Logarithmengesetz für

{log}_{n} (a^{x} + b^{y})

? Nein? Dann macht ein Logarithmieren von Summen keinen Sinn! Dabei darfst Du aber nicht vergessen, dass hier mit Summen nur solche Summen gemeint sind, die man nicht durch geschicktes Umformen in ein Produkt oder eine Potenz verwandeln könnte. So ist

z . B

a^{x} + a^{x} = 2 \cdot a^{x}

und deshalb

{log}_{n} (a^{x} + a^{x}) = {log}_{n} (2 \cdot a^{x}) = {log}_{n} (2) + {log}_{n} (a^{x}) = {log}_{n} (2) + x \cdot {log}_{n} (a)

. Aber im allgemeinen gibt es kein Logarithmengesetz für Summen! Möglich, dass hier mal jemand etwas flapsig geschrieben hat, dass man Summen nicht logarithmieren darf, gemeint ist damit allerdings höchstens, dass es einem nicht weiterhilft!

PS @Respon:

Es geht natürlich noch umständlicher, als Du es gemacht hast, allerdings auch viel einfacher:

2^{2 \cdot x + 2} = 3^{2 \cdot x + 2};

Exponentialfunktionen ergeben niemals den Wert

0,

also darf man ohne Einschränkung dividieren

\frac{2^{2 \cdot x + 2}}{3^{2 \cdot x + 2}} = 1

{(\frac{2}{3})}^{2 \cdot x + 2} = 1;

Jetzt solte man wissen, dass alle Exponentialfunktionen

a^{x}

durch

(0; 1)

gehen

2 \cdot x + 2 = 0;

Entweder sieht man jetzt schon die Lösung oder man macht weiter mit

2 \cdot x = - 2

x = - 1

Respon

07:59 Uhr, 26.09.2014

"Ohne Logarithmus ( mit allen - nicht unbedingt notwendigen - Zwischenschritten )"

Um eventuelle Rückfragen auszuschließen, habe ich eine gewisse Rendundanz eingebaut.
Natürlich würde ein "echter" Mathematiker anders vorgehen.

Zeus55 aktiv_icon

11:40 Uhr, 26.09.2014

"((Beispielsweise) kenne ich das Logarithmus-Gesetzt, durch welches ich

2 x + 2

vor den

ln

bringe.
Mein Problem ist ich verstehe nicht, wie man da aus „heiterem Himmel“ ein

ln

einfügen kann.
Zumal

ln

ja auch noch für die Basis

e

ist"

Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist deine Frage wieso man eine Gleichung logarythmiere kann. Oder auch anders gesagt warum man aus heiterem Himmel ein

ln

in die Gleichung schreibt...
Wie

z . B

. hier:

2^{x} = 8

ln (2^{x}) = ln (8)

anderes Bsp:

\frac{x}{2} = 8

\frac{x}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2

Und schon hat man einfach eine zusätzliche 2 Eingefügt.
Das funktioniert weil man es auf beiden Seiten macht. Falls du dich zurück erinnerst. In der Schule hast du bestimmt den Vergleich mit einer Waage gehabt.

Man kann alles Mögliche mit einer Gleichung machen solange man es auf beiden Seiten macht.(ein paar ausnahmen gibt es)
Gleiches auch beim Wurzel ziehen.

x^{2} = 4

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{4}

Wichtig ist das du immer die komplette Seite einer Gleichung benutzt:

x^{2} = 4 + a

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{a}

ist falsch

\to \sqrt{x^{2}} = \sqrt{4 + a}

ist richtig. (Also erst alles in die Fubktion schreiben und dann umformen)

Warum

ln

und nicht

{log}_{2}

oder

...

?
Naja bei der Umformung der Gleichung macht man sich die Umformungsregeln der Logarithmus funktion zu nutze. nämlich

{log}_{n} (m^{x}) = x \cdot {log}_{n} (m)

egal welche Basis die umformungs Regel bleibt gleich. Also kannst du ein belibiges

n

wählen(solange der log für

n

definiert ist)
bei

ln

ist praktisch, dass es jeder kennt und nur 2 zeichen hat. Schreibt sich also schneller als

{log}_{2}

.

Jetzt noch wie kommt man vom

{log}_{a}

wieder zurück.
Dazu muss man wissen was die Umkerhfunktion ist:

a^{x}

So wieder der vergleich mit den Wurzeln.

\sqrt{x + 3} = 5

Man quadriert. Heist du wendest die funktion

x^{2}

auf die Gleichung an. Wobei

x

jeweils eine komplette Seite der Gleichung ist.

{\sqrt{x + 3}}^{2} = 5^{2}

x + 3 = 25

a^{x}

und

{log}_{a}

umkerfunktionen sind:

{log}_{5} (x) = 2

5^{x}

auf die gleichung anwenden:

5^{{log}_{5} (x)} = 5^{2}

5^{{log}_{5} (x)} = x

Sowie

{\sqrt{x}}^{2} = x

ist

\to x = 5^{2}

Ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden und dir hat dieser kleine text geholfen :-)

Bummerang

14:56 Uhr, 26.09.2014

Hallo,

"bei

ln

ist praktisch, dass es jeder kennt und nur 2 zeichen hat. Schreibt sich also schneller als

{log}_{2}

"

Ich denke, dass das nur die halbe Wahrheit ist, denn wie es für die Basis

e

die "Abkürzung"

ln

gibt, gibt es für die Basis 2 die "Abkürzung" ld oder für die Basis

10

die "Abkürzung" lg, die sind genauso lang und sollten genauso bekannt sein. Warum man trotzdem

ln

statt ld oder lg nimmt ist darin begründet, dass man nicht selten am Ende eine Gleichung mit Logarithmen von Zahlen stehen hat, wie

z . B . :

x = \frac{ln (3) - ln (2)}{ln (5)}

Das muss man nun mit dem Taschenrechner berechnen. Wenn da nun ld stehen würde, würde man sich auf so ziemlich allen handelsüblichen Taschenrechnern dumm und dämlich nach der entsprechenden Taste suchen, weil es sie nicht gibt. Auch lg (oft unsauber einfach als log bezeichnet) findet man nicht auf allen Taschenrechnern. Was man aber immer findet, ist eine Taste für

ln!

Deshalb nimmt man

ln

so gern!

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