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Maximale Steigung überschritten?

Schüler Berufsfachschulen,

Tags: Prozent, Steigung, Wendepunkt

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15:07 Uhr, 07.05.2016

Schönen Guten Nachmittag zusammen,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe, bei der ich mir gerade unsicher bin, ob ich das so richtig gerechnet habe. Wäre schön, wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte einmal rüber zugucken, ob meine Rechnung so stimmt.

Aufgabe: Als Hersteller von Spielgeräten wird Ihnen von einem neuen Konstrukteur eine Rutsche vorgestellt. Das Seiten Profil der Rutsche ist durch die Funktion

f (x) = \frac{25}{111} \cdot x^{3} - \frac{5}{6} \cdot x^{2} + \frac{17}{10}

gegeben.

Sichere Rutschen dürfen eine Steigung von maximal

35 %

nicht überschreiten, wobei

100 %

der Steigung 1 entsprechen. Untersuchen Sie, ob die maximale Steigung überschritten wird.

Rechnung:
2 Ableitung bilden:

\frac{50}{37} \cdot x - \frac{5}{3}

Null setzen:

0 = \frac{50}{37} \cdot x - \frac{5}{3}

Nach

x

Auflösen:

\frac{5}{3} = \frac{50}{37} \cdot x

Mit

\frac{50}{37}

x = \frac{37}{30}

In die Ausgangsfunktion setzen:

f (\frac{37}{30}) = \frac{277}{324}

≙

0,85 = 85 %

Damit wurde dann ja die maximale Steigung mit

35 %

überschritten oder nicht? Kommt mir deutlich zu hoch vor.
Wäre also dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte.

Liebe Grüße
Lisa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

15:42 Uhr, 07.05.2016

Die Kernfrage ist doch, in welchem x-Bereich die Funktion die Rutsche modellieren soll.

Du hast die Wendestelle und auch die y-Koordinate des Wendepunkts berechnet. Letztere hat aber nicht mit der Steigung zu tun. Dafür ist doch die erste Ableitung zuständig!
Und auch ein Unterschreiten der Steigung

- 35 %

wäre unzulässig.

Und noch ein Hinweis: Nur im Bereich zwischen den beiden Extremstellen ist die Wendestelle die Stelle mit dem größten (oder kleinsten) Anstieg. Links und rechts von den Extremstellen wird es durchaus noch steilere Stellen geben.

In deinem Beispiel haben wir links von

x \approx 0,195

immer eine Steigung die kleiner als

- 35 %

ist und rechts von

x \approx 2,661

ist die Steigung immer größer als

+ 35 %

.
Aber auch an der Wendestelle ist die Steigung unzulässig, allerdings ist sie nicht

85 %

R

supporter aktiv_icon

15:46 Uhr, 07.05.2016

f' (x) = \frac{75}{111} \cdot x^{2} - \frac{25}{6} \cdot x = \frac{25}{37} \cdot x^{2} - \frac{25}{6} \cdot x

f'' (x) = \frac{150}{111} \cdot x^{2} - \frac{25}{6} = \frac{50}{37} \cdot x^{2} - \frac{25}{6}

f'' (x) = 0

\frac{50}{37} x^{2} - \frac{25}{6} = 0

x^{2} = \frac{37}{12}

x = \pm \sqrt{\frac{37}{12}}

f' (\pm \sqrt{\frac{37}{12}}) = tan φ

φ_{1} =

φ_{2} =

Roman-22

15:49 Uhr, 07.05.2016

@supporter:

>

f′′(x)=150111⋅x2−256=5037⋅x2−25
Das möchtest du sicher nochmals überprüfen.
Die Wendestelle wurde von fer0x, wie schon geschrieben, durchaus richtig berechnet!

R

willyengland aktiv_icon

15:51 Uhr, 07.05.2016

Ich würde sagen, gemeint ist die Steigung an der Wendestelle.
Sonst kriegt man ja beliebig hohe Steigungen hin.

Also x-Wert der Wendestelle in 1. Ableitung einsetzen und gleich

0,35

setzen.
So würde ich es verstehen.

fer0x aktiv_icon

15:58 Uhr, 07.05.2016

Ich möchte mich schon mal für die Unstimmigkeiten entschuldigen. Hätte eventuell das Bild anhängen sollen.

Ich bin aber bereits sehr dankbar, dass sich so viele meinem Problem angenommen haben.

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16:05 Uhr, 07.05.2016

Ich habe meine

x

Stelle nun in die zweite Ableitung gepackt, allerdings erhalte ich jetzt einen Wert von

- \frac{37}{36}

.

Dann sind umgerechnet

- 1,02777 . .

.

Wie interpretiere ich jetzt dieses Ergebnis?

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16:11 Uhr, 07.05.2016

Danke,Roman. Ich stand wohl völlig neben mir.

Roman-22

16:19 Uhr, 07.05.2016

Auch wenn das Bild fälschlicherweise suggeriert, dass die Rutsche rechts am Boden aufkommt (sie ist dort einen knappen Zentimeter darüber) ist jetzt doch klar, dass der Bereich zwischen den Extremwerten gemeint ist.
Daher ist dein Ansatz, den Wendepunkt unter die Lupe zu nehmen, richtig, denn die steilste Stelle ist, wenn man sich auf diesen Bereich beschränkt, sicher die Wendestelle.

>

Ich habe meine

x

Stelle nun in die zweite Ableitung gepackt,
Nein, das hast du zum Glück nicht gemacht! Du hast richtigerweise in die erste Ableitung eingesetzt.

>

allerdings erhalte ich jetzt einen Wert von

- \frac{37}{36}

>

Dann sind umgerechnet

- 1,02777 . .

>

Wie interpretiere ich jetzt dieses Ergebnis?

Vielleicht als Steigung von ca

- 103 %

?
Schließlich geht es ja bergab, wenn wir die Kurve von links nach rechts im Sinne aufsteigender Abszissenwerte "berutschen".
Meinst du nun, dass das zu steil wäre, oder nicht?

Generell kommen mir ja die

35 %

auch für eine Kinderrutsche ein wenig zu vorsichtig gewählt vor.
Siehe beigefügte Grafik - nur die grünen Stellen wären im zulässigen Bereich.
Aber das ist eine andere Geschichte.

R

willyengland aktiv_icon

16:21 Uhr, 07.05.2016

"Dann sind umgerechnet −1,02777.. ."

Das habe ich auch raus.
Negative Steigung, da die Kurve von links nach rechts fällt.
Also

103 %

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16:24 Uhr, 07.05.2016

Also ist die Rutsche tatsächlich mal eben

68 %

Steiler als die Vorschrift es verlangt? Das klingt so ungewöhnlich, da solche Überprüfungsaufgaben meistens nur gering vom Angegebenenwert abweichen.

Roman-22

16:27 Uhr, 07.05.2016

Ist aber trotzdem so - es sei denn, du hast dich bei der Angabe geirrt und irrtümlich irgendwo falsche Werte angegeben.

Aufgabe dieser Art werden wahnsinnig gerne als Kinderrutschen-Aufgaben eingekleidet und Lehrer sind sehr kreativ, wenn es um das Erfinden von behaupteten Normen und Vorschriften geht. Einmal darf die Gesamtneigung 40° nicht überschreiten, dann darf der Neigungswinkel an der steilste Stelle höchstens 60° betragen und bei dir hat man sich eben die Beschränkung auf die Steigung

35 %

einfallen lassen, was einem Steigungswinkel von nur gut 19° entspricht, also doch recht wenig ist.
Steht in der Angabe vielleicht

135 %

? Das wären dann doch schon ca. 53,5°.

R

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16:32 Uhr, 07.05.2016

Mann sollte sich halt nicht immer an dem Durchschnitt orientieren (*•̀ᴗ•́*)و ̑̑

Die Frage ist damit abgeschlossen. Ich Danke dir und den anderen für eure Hilfe.

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16:32 Uhr, 07.05.2016

Mann sollte sich halt nicht immer an dem Durchschnitt orientieren :-)

Die Frage ist damit abgeschlossen. Ich Danke dir und den anderen für eure Hilfe.

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