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Monotonie einer Kosinus bzw Sinus-Funktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Monotonie

 
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leonella

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16:03 Uhr, 12.11.2013

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Wir lernen in Mathe zurzeit das Monotonieverhalten- was ich verstanden hab. Das einzige was ich nicht verstehe ist das Monotonieverhalten bei Funktionen die Kosinus und Sinus enthalten z.b. f(x)=x2+cos(x)
Wir sollen erst die Ableitungsfunktion suchen, dann die Nullstellen bilden und dann zum Schluss eine Vorzeichentabelle machen.
Kann mir wer zeigen, wie das mit der oberen Funktion funktioniert?
p.s. ein anderes Beispiel wäre auch: f(x)=sin(x)+cos(x) (welche ich auch nicht verstehe)
danke im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
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prodomo

prodomo aktiv_icon

17:06 Uhr, 12.11.2013

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Schon bevor du irgendeine Rechnung machst, überlege dir, das g(x)=x2 als Bild die Normalparabel hat, die in 2 jeweils monotone Hälften zerfällt. Die cos-Funktion dagegen wechselt ständig das Vorzeichen. Wenn man beide addiert, kommt es also darauf an, wer "stärker" ist und das Gesamtverhalten bestimmt. Um ein Gefühl für das Problem zu bekommen, zeichne g(x)=x2 und h(x)=cos(x) mal für -2..2. Steigt die Parabel schneller, als die cos-Fkt. fällt ?
Die Ableitung ist leicht zu finden, f'(x)=2⋅x-sin(x). sin(x) ist auf Werte zwischen -1 und 1 begrenzt, 2⋅x dagegen nicht. Für -π<x<0 sind beide negativ. Dabei fällt 2⋅x viel schneller, als sin(x). Damit ist die Summe negativ, auf der anderen Seite der y-Achse ist entsprechend positiv. Im Bereich über π bzw. unter -π ist das 2⋅x immer vom Betrag her viel größer als sin(x), da verhält sich f'(x) fast wie 2⋅x, die Sinusfunktion wird zunehmend bedeutungslos. Also ist f(x) monoton fallend für x≤0 und steigend für x≥0
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