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Nullstellen von unecht gebrochen rat. Funktionen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Nullstell, Polynomdivision

Drummer aktiv_icon

18:05 Uhr, 06.02.2017

Ich habe erst mal eine allgemeine Frage, angenommen wir haben eine unechtgebrochen rationale Funktion. Wann teilt man den Zähler durch den Nenner und wann teilt man den Zähler durch eine Nullstelle des Zählers? Ich habe schon beide Varianten gesehen, zB wir haben die unecht gebrochen rationale Funktion

\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}{x^{2} - x}

Eine Nullstelle des Zählers wäre zB

1,

wann würde man den Zähler durch die Nullstelle teilen (um was herauszubekommen?)

(x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) : (x - 1)

Und wann würde man den Zähler durch den Nenner teilen (um was herauszubekommen?)

Und meine eigentliche Hauptfrage: Wie würde man bei der Aufgabe oben die Nullstellen und die Pole berechnen? Denn im Nenner kann ich nicht die pq-Formel anwenden um die Pole zu bestimmen und im Zähler kann ich dies auch nicht tun, weil dort

x^{3}

und nicht

x^{2}

steht. Wenn ich den Zähler durch den Nenner teile, kommt

x - 1

mit einem Rest raus, womit man nicht wirklich was anfangen kann. Und wenn ich eine Nullstelle errate (zB

1)

und den Zähler durch diese Nullstelle teile (Polynomdivision anwende) kommt

x 2 - x

raus, womit man auch nicht wirklich was anfangen kann. Würde mich über jede Antwort freuen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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18:11 Uhr, 06.02.2017

a)

Wenn du den Zähler faktorisieren willst um evtl. zu kürzen oder die Nullstellen des Bruches zu suchen.

b)

Nullstellen = Nullstellen des Zählers
Pole= Nullstellen des Nenners, hier kannst du faktorisieren, indem du

x

ausklammerst.

x^{2} - x = x (x - 1)

Drummer aktiv_icon

18:23 Uhr, 06.02.2017

a)

Ist das jetzt auf das dividieren des Zählers durch den Nenner bezogen, oder auf das Dividieren des Zählers durch eine Nullstelle?

b)

Danke! Jetzt macht es Sinn! Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie man die Nullstellen (also die Nullstellen des Zählers) ausrechnen würde? Wie oben schon gesagt, ich habe alles mögliche versucht, aber komme einfach nicht drauf. Die Nullstellen sind scheinbar

- 1

und

2,

aber keine Ahnung was man rechnen soll um darauf zu kommen

ledum aktiv_icon

18:50 Uhr, 06.02.2017

Hallo

x = 1

muss man raten, dann den Zähler durch

x - 1

teilen, es bleibt eine quadratische Gleichung , die

d

losen kannst.

Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

18:57 Uhr, 06.02.2017

.
"x=1 muss frau raten"

Mann kann überlegen:
der Zähler lässt sich bei diesem Beispiel leicht in Faktoren zerlegen

\to

x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 =

x^{2} \cdot (x - 2) - (x - 2) =

[x^{2} - 1] \cdot (x - 2) =

(x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)

und dazu:
"Denn im Nenner kann ich nicht die pq-Formel anwenden um die Pole zu bestimmen"

dein Nenner sieht so aus:

\to x^{2} - x

auch da brauchst du doch keine Formeln , die du angeblich ja auch nicht anwenden kannst
Tipp:
zerlege in ein Produkt (durch Ausklammern)

\to x^{2} - x = x \cdot (x - 1)

Frage: Wann hat ein Produkt den Wert 0 ?

und nochwas:

\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}{x^{2} - x}

? was geschieht denn eigentlich nun an der Stelle

x = 1

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