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Parameter

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Gleichungssysteme

Tags: Fallunterscheidung, Gleichungssystem, Parameter, terassenpunkt, Wendepunkt

maliika aktiv_icon

20:03 Uhr, 14.12.2014

Hallöchen,
Ich brauch unbedingt Hilfe bei einer Übungsaufgabe:

F (x) - \to - (\frac{1}{3 a^{2}}) x^{3} + (a - 2) x - 2

.
Mit

a > 0

a)

bestimmen sie die Werte von

a,

bei denen der Graph Gf

1)

zwei verschiedene Punkte

2)

genau einen Punkt

3)

keinen Punkt
Mit waagrechte Tangente hat

B)

zeigen Sie, dass die Koordinaten des Wendepunkte von Gf von a unabhängig sind

C)

für welchen Wert a hat der Graph einen Terassenpunkt?

D)

bestimmen Sie a so, dass die Wendetangente die Steigung 1 hat.

So weit bin ich bis jetzt gekommen:

Fa'(x)=

- (\frac{1}{a^{2}} (x^{2})) \cdot (a - 2)

D = - 4 \cdot (- (\frac{1}{a^{2}})) \cdot (a - 2)

1 Fall

D = 0

\frac{4}{a^{2}} (a - 2) = 0

Und jetzt komme ich einfach nicht mehr weiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

20:13 Uhr, 14.12.2014

deine Ableitung ist falsch
es sollte

+ (a - 2)

statt

\cdot (a - 2)

heißen

maliika aktiv_icon

20:19 Uhr, 14.12.2014

Stimmt du hast recht. Ich habe es falsch abgetippt

michael777 aktiv_icon

20:22 Uhr, 14.12.2014

also

- \frac{1}{a^{2}} x^{2} + (a - 2) = 0

x^{2} = a^{2} \cdot (a - 2)

x = \pm a \cdot \sqrt{a - 2}

die Anzahl der Lösungen ist von

a - 2

abhängig

maliika aktiv_icon

20:28 Uhr, 14.12.2014

Welche Frage wurde dann durch dieses Ergebnis beantwortet? Tut mir Leid, ich blicke nicht durch

michael777 aktiv_icon

20:30 Uhr, 14.12.2014

das ist Teilaufgabe

a)

Anzahl der Punkte mit waagrechter Tangente
ich habe die Ableitung 0 gesetzt und nach

x

aufgelöst

für

a = 2

gibts genau einen Punkt mit waagrechter Tangente
für

a < 2

keinen und für

a > 2

zwei Punkte

maliika aktiv_icon

20:43 Uhr, 14.12.2014

Achsooo jetzt klingt das Logisch. Dankeschön wirklich danke. Am liebsten würde ich dich küssen. Ich sitze hier seit 4 Stunden und komme nicht weiter und du erklärst es mir innerhalb

3 min

maliika aktiv_icon

21:02 Uhr, 14.12.2014

wenn ich jedoch die 2. Ableitung von der Funktion berechnen möchte, fällt dann nur

- 2

oder a und

- 2

weg? Es würde doch dann so lauten f´´(x)

= - 2 (\frac{1}{a^{2}}) x + a

michael777 aktiv_icon

21:04 Uhr, 14.12.2014

(a - 2)

ist eine Konstante und wird beim ableiten null, es fällt also sowohl a als auch 2 weg

f_{a}'' (x) = - \frac{2}{a^{2}} x

maliika aktiv_icon

21:10 Uhr, 14.12.2014

und wie soll ich das in meiner VZT einfügen? Ich benötige ja dann eine Nullstelle für die 2. Ableitung

michael777 aktiv_icon

21:13 Uhr, 14.12.2014

f_{a}'' (x) = 0 = \Rightarrow x = 0

f_{a} (0) = - 2

WP(0|-2)
die Koordinaten sind also von a unabhängig

maliika aktiv_icon

21:15 Uhr, 14.12.2014

Wie bist du jetzt darauf gekommen die 2. Ableitung gleich null zu setzten?

michael777 aktiv_icon

21:16 Uhr, 14.12.2014

notwendige Bedingung für den Wendepunkt

maliika aktiv_icon

21:21 Uhr, 14.12.2014

was heißt das sie von a unabhängig sind? wie würden dann die Koordinaten aussehen wenn sie von a abhängig sind?

michael777 aktiv_icon

21:23 Uhr, 14.12.2014

von a unabhängig heißt, dass in der Koordinate kein a mehr vorkommt.
Für alle a ist es der gleiche Punkt

maliika aktiv_icon

21:24 Uhr, 14.12.2014

Achso. Also hat der Graph bei 0 einen Terassenpunkt?

michael777 aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.12.2014

f_{a}' (0) = - \frac{1}{a^{2}} \cdot 0 + (a - 2) = a - 2

die Steigung der Wendetangente ist von a abhängig
nur für

a = 2

ist die Steigung

0,

dann ist der Wendepunkt auch ein Terrassenpunkt

maliika aktiv_icon

21:35 Uhr, 14.12.2014

Aber der Terassenpunkt kann doch nicht

a - 2

sein

michael777 aktiv_icon

21:37 Uhr, 14.12.2014

a - 2

ist die Steigung, also keine Koordinate des Punkts

maliika aktiv_icon

21:43 Uhr, 14.12.2014

...

. ich verstehe es nicht. f´(x) muss ja gleich 0 sein damit ein Terassenpunkt vorhanden ist. Aber f´(x) ist ungleich 0 also ist doch eigentlich kein Terassenpunkt vorhanden. Aber die Fragestellung lautet ja, für welchen Wert a hat der Graph einen Terassenpunkt somit muss es ja einen geben.

michael777 aktiv_icon

21:46 Uhr, 14.12.2014

das habe ich bereits beantwortet: nur für

a = 2

ist

f_{a}' (0) = 0

und somit gibts für

a = 2

einen Terassenpunkt

maliika aktiv_icon

21:50 Uhr, 14.12.2014

aber was hatte es dann mit der Steigung auf sich? war die für die Teilaufgabe

d

gedacht?

michael777 aktiv_icon

21:52 Uhr, 14.12.2014

ein Terrassenpunkt ist es dann, wenn es ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente ist, also muss die Steigung (erste Ableitung) beim x-Wert des Wendepunkts null sein

bei

d)

soll die Steigung der Wendetangenten 1 sein
der Wendepunkt ist bei

x = 0

also muss

f_{a}' (0) = 1

sein
damit kannst du dann das gesuchte a berechnen

maliika aktiv_icon

21:59 Uhr, 14.12.2014

ahhh okay. Sieht viel klarer aus. Sei jetzt nicht sauer wenn ich falsch lege aber ich habe jetzt als Wendetangente das rausgekriegt:

y = a - 2 + 2

maliika aktiv_icon

22:01 Uhr, 14.12.2014

achso okay dann hat sich diese Frage jetzt geklärt

michael777 aktiv_icon

22:05 Uhr, 14.12.2014

die Wendetangente ist

y = (a - 2) \cdot x - 2

Punktsteigungsform mit

W (0 | - 2)

und

m = f_{a}' (0) = a - 2

y = m \cdot (x - x_{w}) + y_{w}

y = (a - 2) \cdot (x - 0) + (- 2)

y = (a - 2) \cdot x - 2

maliika aktiv_icon

22:09 Uhr, 14.12.2014

Soll ich dann um a rauszufinden es ausmultiplizieren und dann in der MNF einsetzten?

michael777 aktiv_icon

22:12 Uhr, 14.12.2014

In der Aufgabe ist die Gleichung der Wendetangenten gar nicht gefragt.
Es ist nur gefragt, für welches a die Wendetangente die Steigung 1 hat
Die Steigung der Wendetangenten kann mit der ersten Ableitung berechnet werden, der x-Wert des Wendepunkts ist ja bekannt

f_{a}' (0) = 1

\Rightarrow a - 2 = 1

\Rightarrow a = 3

maliika aktiv_icon

22:14 Uhr, 14.12.2014

ich Wusste es!!!!! ich habe mir die ganze Zeit nur gedacht so einfach kann es nicht sein

maliika aktiv_icon

22:19 Uhr, 14.12.2014

Ich muss mich bei dir bedanken Michael, danke dass du deine Zeit geopfert hast um mir die Aufgabe zu erklären. Darf ich jedoch wissen um die ein Mathematiklehrer oder ein Mathematikstudent bist? Oder ob du überhaupt in der Mathematik tätig bist

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