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Parameter a bestimmen (Integralrechnung)

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Integeralrechnung, Parameter, Schnittstellen

Amilo94 aktiv_icon

13:29 Uhr, 22.04.2012

Hallo. wir haben im Unterricht folgende Aufgabe bekommen:

Wie muss der Parameter a gewählt werden, wenn die Fläche zwischen den Graphen von

f

und

g

den Inhalt A besitzen soll?

f (x) = x^{2}

g (x) = - a \cdot x + 2 a^{2}

A = 4,5

So ich würde jetzt erstmal die Schnittstellen der beiden Funktionen berechnen, aber da hab ich dann schon das erste problem. Ich krieg das irgendwie nicht hin.
Also ich hab bis jetzt:

f (x) = g (x)

x^{2} = - a \cdot x + 2 a^{2}

Nun komm ich aber beim auflösen nicht weiter. Es wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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13:34 Uhr, 22.04.2012

Am Ende

a^{2}

+der

2 a^{2}

x^{2} = - a x + a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + a x - a^{2} = 0 |

pq-Formel

x_{1,2} = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}}

= - \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} a^{2}}

Wahrscheinlicher ist denke ich:

x^{2} = - a x + 2 a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + a x - 2 a^{2} = 0 |

pq-Formel

x_{1,2} = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + 2 a^{2}}

= - \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} a^{2}}

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13:39 Uhr, 22.04.2012

Oups sorry

2 a^{2}

am Ende.
Aber wie kommt man denn auf

\frac{9}{4} a^{2}

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13:41 Uhr, 22.04.2012

Offenbar gilt

{(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{4} = \frac{1}{4} a^{2}

und

\frac{1}{4} a^{2} + 2 a^{2} = \frac{9}{4} a^{2}

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13:45 Uhr, 22.04.2012

Ah klar. Also sind die Lösungen

x_{1} = a

und

x_{2} = - 2 a

richtig?

Nun muss ich die Differenzfunktion erstellen und das Integral in den ausgerechneten Schnittstellen berechnen, oder?

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13:49 Uhr, 22.04.2012

Ja die Lösungen sind korrekt. Ist irgendetwas zum Parameter a angegeben?
Dann fiele es einfacher zu bestimmen welches die obere und welches die untere Grenze ist.

In jedem Fall erfolgt die Flächenberechnung durch Integration der Differenzfunktion in den errechneten Grenzen, also ja.

Bzw. Du musst die Gleichung aufstellen, da die Fläche gegeben ist und natürlich nach a umstellen.

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13:50 Uhr, 22.04.2012

Nein zu a ist nichts gegeben. Nur das es größer als 0 sein soll. Aber ich setz mich mal ran und guck was raus kommt. Vielen Dank schonmal :-)

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13:53 Uhr, 22.04.2012

Ja aber

a > 0

ist genau das was ich meinte, dann ist klar das

x_{1} = a > 0

und

x_{2} = - 2 a < 0

sind und somit ist klar dass

\int_{- 2 a}^{a}

diff(x)

d x = 4,5

gelten muss

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14:07 Uhr, 22.04.2012

Hmm ich hab das jetzt mal gemacht und da kommt bei mir

1.08

raus. Aber ich denke das kann irgendwie nicht stimmen

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14:10 Uhr, 22.04.2012

WIe lautet denn dein Rechenweg?

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14:23 Uhr, 22.04.2012

\int_{- 2 a}^{a} (x^{2} + a x - 2 a^{2}) d x = {[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a^{2} x]}_{- 2 a}^{a}

dann hab ich die grenzen eingesetzt und kamm ganz am schluss auf:

(- 1 \frac{1}{6} a^{3}) - (2 \frac{1}{3} a^{3}) = A

- 3 \frac{1}{2} a^{3} = 4,5

a = 3 \sqrt{-} 1 \frac{2}{7}

(also 3. Wurzel aus

- 1 \frac{2}{7})

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14:26 Uhr, 22.04.2012

Sei

F (x)

mal eine Stammfunktion der Differenzfunktion, dann ist

F (- 2 a) = \frac{10}{3} a^{3}

Da hast du dich dann wohl verrechnet.

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14:33 Uhr, 22.04.2012

Ok also einen Fehler hab ich nun schon entdeckt. Habe ausversehen zuerst die obere Grenze und dann erst die untere eingesetzt.
Aber ich komme trotzdem auf das selbe ergebniss wie davor. Und finde meinen Fehler nicht

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14:35 Uhr, 22.04.2012

Naja das was du geschrieben hattest, stimmte bis auf eben den Fehler den ich kritisiert hatte, beim Einsetzen von

- 2 a

hast du dich verrechnet.

Rauskommen müsste:

- \frac{7}{6} a^{3} - \frac{10}{3} a^{3} = 4,5

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14:40 Uhr, 22.04.2012

Hmm also ich komme nie auf

\frac{10}{3}

sondern immer auf

\frac{7}{3}

. Könntest du das einmal bitte vorrechnen. Wäre super lieb

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14:43 Uhr, 22.04.2012

\frac{1}{3} \cdot {(- 2 a)}^{3} + \frac{1}{2} a {(- 2 a)}^{2} - 2 a^{2} (- 2 a)

= \frac{1}{3} \cdot (- 8 a^{3}) + \frac{1}{2} a \cdot 4 a^{2} + 4 a^{3}

= - \frac{8}{3} a^{3} + 2 a^{3} + 4 a^{3}

= \frac{10}{3} a^{3}

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14:45 Uhr, 22.04.2012

Ahh ok. Aber dann wäre die Lösung für a ja

- 1

Das wäre doch dann kleiner als 0 und der a soll ja größer 0 sein?!

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14:46 Uhr, 22.04.2012

Aha gut erkannt, offensichtlich ist

a = - 1

keine Lösung die in Frage kommt.

was wäre denn, wenn du als Fläche einer soclhen Aufgabe

- 4,5

statt

4,5

rausbekommst?

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14:48 Uhr, 22.04.2012

Naja ich müsste ja eh nur den Betrag der Fläche betrachten... verstehe die Frage nicht so ganz

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14:50 Uhr, 22.04.2012

Dann mach ich es etwas deutlicher.

Wir nehmen an du solltest nicht a bestimmen sondern du hättest alle sgegeben und sollst die Fläche bestimmen, du erhälst nun als Fläche

- 4,5

raus, wie du gesagt hast betrachtest du den Betrag, es gilt also:

- 4,5 \to | - 4,5 | = 4,5

FE oder?

Also kommt für

- 4,5

eigentlich auch

+ 4,5

raus, also ersetze bei deiner Aufgabe doch mal

4,5

durch

- 4,5

weil im Prinzip am Ende dasselbe rauskommt.

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15:04 Uhr, 22.04.2012

Dann kommt immernoch

- 1

raus

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15:07 Uhr, 22.04.2012

Na das macht wenig Sinn, also:

Wegen

| - 4,5 | = 4,5

ersetzen wir in der obigen Gleichung

4,5

durch

- 4,5

was letztendlich keine Auswirkungen auf die Vorgaben hat.

Wir erhalten

- 4,5 a^{3} = - 4,5 \Leftrightarrow a^{3} = 1 \Leftrightarrow a = 1

Entsprechend ist

a = 1

eine respektive die Lösung für diese Aufgabenstellung.

Amilo94 aktiv_icon

15:13 Uhr, 22.04.2012

naja aber da ich ja untere minus obere grenze rechne steht da ja:

\frac{10}{3} a^{3} - (- \frac{7}{6} a^{3}) = - 4,5

und das wäre dann

a = 1

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15:14 Uhr, 22.04.2012

Man rechnet aber obere minus untere Integrationsgrenze...

Amilo94 aktiv_icon

15:15 Uhr, 22.04.2012

Ah klar kommt 1 raus. Hatte anfangs zuerst obere minus untere Grenze gemacht. rechnet man aber Untere minus obere Grenze dann kommt

a = 1

raus. (Auch wenn man

A = 4,5

nimmt). Vielen Dank für die Hilfe!

Amilo94 aktiv_icon

15:17 Uhr, 22.04.2012

hmm ok ich bringe wohl grad alles durcheinander. Aber nagut 1 ist wohl eine Lösung

Underfaker aktiv_icon

15:19 Uhr, 22.04.2012

Ja ich hoffe du hast das nun verstanden, wenn du die Probe machtest, also

a = 1

einsetzt wirst du mit korrekter Durchführung und beachtung des Fundamentalsatz der Analysis die Lösung

| - 4,5 | = 4,5

FE rausbekommen.

Amilo94 aktiv_icon

18:21 Uhr, 22.04.2012

Ja, vielen Dank für die Mühe :-)

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