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Primzahl als Exponent faktorisieren

Universität / Fachhochschule

Tags: faktorisieren, Potenz, Radizieren

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10:29 Uhr, 21.07.2016

Guten Tag onlinemathe.de

Ich möchte gerne eine Primzahl zerlegen. Selber habe ich schon nach Möglichkeiten gesucht, aber leider nichts passendes gefunden. Ich finde die Frage auch sehr speizell, weshalb ich sie auch hier stelle.

Eine Bedingung möchte ich festhalten. Der Exponent ist immer eine Primzahl, die sehr gross werden kann.

Ein Beispiel

2^{11} \to b a s i s := 2; e x p := 11; \to ((\sqrt[2]{11} a l s ℤ) + 1) = 4;

\to 2^{4} * 2^{4} * 2^{3} e n t s p r i c h t w i e d e r 2^{11}

ein weiteres Beispiel

5^{7} \to b a s i s := 5; e x p := 7; \to ((\sqrt[5]{7} a l s ℤ) + 1) = 2;

\to 5^{2} * 5^{2} * 5^{2} * 5 e n t s p r i c h t w i e d e r 5^{7}

Ich hoffe es erklärt mein Vorhaben. Für mich stellt sich die Frage gibt es dazu schon eine mathematische Vorgehensweise, die soetwas extrem erleichtern würde. Ich hab mir schon die Fibonacci angeschaut, aber die sind wie ich erkennen kann eher weniger dafür geeignet, nehm ich an.

Weiss jemand da einen guten Rat.

Danke schon im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

10:42 Uhr, 21.07.2016

>

52∗52∗52∗5entsprichtwieder211
Das bezweifle ich. Sollte wohl eher

5^{7}

lauten

Generell ist mir aber nicht klar, was du erreichen möchtest. Gut, eine Primzahl ist auf vielerlei Arten in eine Summe von positiven ganzen Zahlen zerlegbar.
Was genau zeichnet also

7 = 2 + 2 + 2 + 1

aus im Vergleich zu

7 = 3 + 3 + 1

oder

7 = 4 + 3

oder

7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

?
Oder was ist das Besondere an

11 = 4 + 4 + 3

im Gegensatz zu zB

11 = 5 + 5 + 1

oder

11 = 3 + 3 + 3 + 2,

oder

. .

.

Was genau ist also das Ziel deiner additiven Zerlegung und wie und warum soll die Basis deiner Potenz dabei eine Rolle spielen?

R

Bummerang

10:46 Uhr, 21.07.2016

Hallo,

"Ich möchte gerne eine Primzahl zerlegen. Selber habe ich schon nach Möglichkeiten gesucht, aber leider nichts passendes gefunden. Ich finde die Frage auch sehr speizell, weshalb ich sie auch hier stelle."

Das ist in meiner nunmehr schon länger andauernden Mitarbeit in diesem Forum die intelligenteste Einleitung zu einem Problem, die mir je untergekommen ist!

"->

5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5

entspricht wieder

2^{11}

"

Mhhhm, da habe ich ernsthafte Zweifel!

"Ich hoffe es erklärt mein Vorhaben."

Nicht wirklich! Wenn Du

5^{7}

zerlegen willst, kannst Du das durch

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

oder

5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5

oder

5^{3} \cdot 5^{3} \cdot 5

oder

5^{4} \cdot 5^{3}

oder

5^{5} \cdot 5^{2}

oder

5^{6} \cdot 5

Alle diese Zerlegungen funktionieren nach dem selben Schema: Es gibt eine gewisse Anzahl gleicher Exponenten und am Ende ist ein Exponent kleiner. als diese gleichen Exponenten.

Also, gibt Dir etwas Mühe zu erklären, was das Ziel ist oder warum Du den gleichen Exponenten am Anfang so "berechnest", wie Du es hier angegeben hast.

EDIT: Da hat der Fragesteller seinen Cut/Paste-Fehler noch zwischenzeitlich korrigiert...

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10:51 Uhr, 21.07.2016

Danke Roman für die Antwort.

Ich habs schon ausgebessert.

Das Ziel soll sein den Exponenten klein zu halten, am liebsten immer unter 5, damit ein einfacheres Rechnen möglich ist.

Ich hab viel Verwendungen dafür, zum Beispiel Teilmultiplikationen für die schrittweise Berechnung von Modulo etc.

Da die Zahlen zum Teil so gross werden, dass sie nicht mehr mit dem Computer berechnet werden können (nicht wenn man auf andere Möglichkeiten zugreift) wäre mir eine ganz elegante Abhandlung, oder eventuell ein Algorithmus für genau die Zerlegung des primzahlen-Exponenten eine grosse Hilfe.

Bummerang

11:18 Uhr, 21.07.2016

Hallo,

"Das Ziel soll sein den Exponenten klein zu halten, am liebsten immer unter

5,

damit ein einfacheres Rechnen möglich ist."

Da stößt Dein Verfahren bei,

z . B

2^{91}

an seine Grenzen, denn

\sqrt[2]{91}

ergibt nach unten abgerundet 9 und keine Zahl unter

5!

Da fällt mir eigentlich nur ein: Statt diese Zahl zu berechnen, nimm einfach immer

4!

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11:25 Uhr, 21.07.2016

Daher auch meine Frage hier im Forum.

Es war mir trotzdem eine eine Hilfe, wenn ich weiss, dass es dazu keine Vorgehensweisen gibt, ausser die die ich schon selber habe.

Danke nochmals.

abakus

11:30 Uhr, 21.07.2016

Für die Modolo-Rechnung ist es tatsächlich zweckmäßig, die Exponenten klein zu halten.
Dabei sollte man aber nicht nur an die Zerlegung der Exponenten in viele kleine Summanden denken.
Nehmen wir als Beispiel

7 3^{44}

nach irgendeinem Modul m.

7 3^{2}

ist (für Computerprogramme) relativ klein, und der Rest nach dem Modul m kann problemlos berechnet werden.
Durch Quadrieren dieses Restes kommt man auf

7 3^{4}

mod m, durch erneutes Quadrieren des Restes auf

7 3^{8}

mod m usw.
Zur Minimierung des Aufwandes ist es also sinnvoll, den Exponenten (im Beispiel die 44) als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben.
Es gilt 44=32+8+4, und zur Bestimmung von

7 3^{44}

mod m muss man nur die leicht zu bestimmenden Werte

7 3^{32}

mod m ,

7 3^{8}

mod m und

7 3^{4}

mod m kennen.

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11:34 Uhr, 21.07.2016

Werde ich mir anschauen danke.

So ähnlich habe ich es bis jetzt auch gemacht.

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22:28 Uhr, 21.07.2016

Habs noch kurz beide Varianten ausprobiert. Lassen sich so mit dem Taschenrechner und mit Kopf von Hand ausrechnen.

Die Exponenten könnte man problemlos so auf 1000 und mehr setzen, und es wäre immer noch schnell von Hand ausgerechenet.

Edit: Hab das Bild kurzfristig rausgenommen, da es aussah, als wäre ein Fehler drin. Ist jedoch in Ordnung so.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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