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Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel

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12:56 Uhr, 06.09.2009

Hallo Leute,

habe eine Frage, wir machen zur Zeit im MatheLK Ableitungsregeln und wir haben folgende Aufgaben bekommen.

f (x) =

2*Wurzel(sin(x^2+2*x-1))

f (x) = x^{2} \cdot \frac{sin (0.5 \cdot x - 1)}{x + cos (x)}

Hier sollen wir die ersten Ableitungen bilden. Jetzt hab ich keine Ahnung, wie ich da genau rangehen soll, habe gestern mindestens

3 h

dran gesessen und es hat nicht gestimmt. Habe die Funktionen mir zeichnen lassen und es hat nicht gepasst.

Ich habe

z . B

. bei der ersten Aufgabe das Problem, dass ich nicht weiß, ob man nur die Wurzel ableiten muss oder auch das unter der Wurzel. Würde da nämlich mit der Produktregel dran gehen. Und bei der 2. Aufgabe komme ich völlig ins schleudern, weil man da ja eigentlich Produkt-, Quotienten-, und Kettenregel benutzen muss oder?

Kann mir das vielleicht jemand nachvollziehbar vorrechnen?

Wäre sehr dankbar.

MFG Turbolader

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
Quotientenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:01 Uhr, 06.09.2009

hallo,

die erste kannst du so umschreiben:

2 \cdot {(sin (x^{2} + 2 \cdot x - 1))}^{\frac{1}{2}}

dann kannst du die kettenregel anwenden. aber vorsicht, du musst auch die klammer hinter dem sin beachten.

ich geb dir mal eine seite, die dir die ableitungen berechnet, da kannst du dann schauen, ob deine berechnungen stimmen. wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en

bei der zweiten sind quotientenregel und kettenregel gefragt.
ich muss schon sagen, dass das ganz schöne dinger sind, dafür dass ihr die regeln grad erstmal lernt.

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15:19 Uhr, 06.09.2009

f (x) = 2 \cdot {(sin (x^{2} + 2 \cdot x - 1))}^{\frac{1}{2}}

Hier setze ich dann die Produktregel an, sprich:

f' (x) = 0 \cdot {(sin (x^{2} + 2 \cdot x - 1))}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot {((\frac{1}{sin (x^{2} + 2 \cdot x - 1)}))}^{\frac{1}{2}}

Damit habe ich aber nur die Wurzel abgeleitet und nicht das in der Wurzel.

Oder ich mache es so und leite das in der Wurzel noch mit der Kettenregel ab:

f' (x) = 0 \cdot {(sin (x^{2} + 2 \cdot x - 1))}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{(2 \cdot x + 2) \cdot cos (x^{2} + 2 \cdot x - 1)})}^{\frac{1}{2}}

Was davon ist richtig?

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16:11 Uhr, 06.09.2009

Hab jetzt mal den Calculator benutzt und da kam raus:

(2 \cdot x + 2) \cdot \frac{cos (x^{2} + 2 \cdot x - 1)}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}

Versteh ich das richtig, dass man zuerst das aus der Wurzel ableitet, sprich:

(2 \cdot x + 2) \cdot cos (x^{2} + 2 \cdot x - 1)

Und dann die Wurzel selber ableitet, ergo:

{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}

?

Wenn ja, dann hätte ich wohl die Kettenregel verstanden oder?

DerCommander aktiv_icon

09:44 Uhr, 07.09.2009

laut dem tool kommt raus

f' (x) = (2 x + 2) \frac{cos (x^{2} + 2 x - 1)}{\sqrt{sin (x^{2} + 2 x - 1)}}

die produktregel hilft hier gar nicht. du musst vielmehr die kettenregel beachten. hier, in diesem fall, doppelt verschachtelt.
du musst

2 \cdot {sin (u)}^{\frac{1}{2}} \to

1.mal Kettenregel

f' (x) = {sin (u)}^{- \frac{1}{2}} \cdot cos (u) \cdot u'

...

cos (u)

ist die "innere ableitung" von dem sin. das

u'

resultiert aus dem 2. mal anwenden der kettenregel.
verstehst du das so?

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13:18 Uhr, 07.09.2009

Ok, die Produktregel hilft dann also nur, weil die

f' (2) = 0

somit, steht bei der Produktregel ja 0*Wurzel+2*Ableitungs der Wurzel.

Also muss ich, wenn ich eine Wurzel Ableite so vorgehen:

1. Das in der Wurzel ableiten
2. Die Wurzel selbst ableiten

Ist das so richtig?

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13:26 Uhr, 07.09.2009

Wenn du eine Wurzel hast, leitest du zuerst die Wurzel, also die äußere Funktion ab. Ersetzt in dieser dann

x

mit dem Inhalt der Wurzel, also der inneren Funktion und multiplizierst das ganze dann noch mit der Ableitung der inneren Funktion.

Beispiel:

f (x) = \sqrt{sin (x)} = {[sin (x)]}^{\frac{1}{2}}

Innere Funktion:

i (x) = sin (x)

Ableitung der inneren Funktion:

i' (x) = cos (x)

Äußere Funktion:

x^{\frac{1}{2}}

Ableitung der äußeren Funktion:

\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

In die Ableitung der äußeren Funktion

x

mit der inneren Funktion also

sin (x)

ersetzen:

\frac{1}{2 \sqrt{sin (x)}}

Und das noch mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren:

f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{sin (x)}} \cdot cos (x) = \frac{cos (x)}{2 \sqrt{sin (x)}}

Shipwater

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16:12 Uhr, 07.09.2009

Ok, dann habe ich das verstanden, danke, nur hab ich immernoch das Problem mit der 2. Aufgabe, wenn mir da keiner helfen kann, werde ich dann morgen mal auf den Lehrer zugehen.

Shipwater aktiv_icon

16:17 Uhr, 07.09.2009

Die zweite Funktion kannst du umschreiben zu:

f (x) = x^{2} \cdot sin (0,5 x - 1) \cdot {[x + cos (x)]}^{- 1}

Das kannst du jetzt nach der Produktregel ableiten und nicht vergessen, bei der Ableitung von

{[x + cos (x)]}^{- 1}

die Kettenregel anzuwenden.

Shipwater

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18:20 Uhr, 07.09.2009

Wie ist das denn dann? Hatte bis jetzt immer nur 2 Faktoren, da sind es ja 3.

Shipwater aktiv_icon

18:25 Uhr, 07.09.2009

Geht trotzdem gleich.

Den ersten Faktor ableiten, dann mit den zwei anderen Faktoren multiplizieren.
Dann den zweiten Faktor ableiten und mit den zwei anderen Faktoren multiplizieren.
Dann den dritten Faktor ableiten und mit den zwei anderen Faktoren multiplizieren.

Am Ende alle addieren.

Shipwater

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19:20 Uhr, 07.09.2009

Ok, jetzt hab ichs bald, muss ich bei diesem

{[x + cos (x)]}^{- 1}

nur die gesamte Klammer ableiten oder wieder Kettenregel benutzen?

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20:21 Uhr, 07.09.2009

Kettenregel, also gesamte Klammer ableiten und dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

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20:59 Uhr, 07.09.2009

Ich habs jetzt, danke euch beiden für die entscheidenen Denkanstöße :-D)

Shipwater aktiv_icon

20:59 Uhr, 07.09.2009

Gern geschehen.

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