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Punkt mit gegebenem Abstand zu Gerade

Schüler

Tags: Geometrie, Gerade, Punkt

 
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SchulerX

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22:00 Uhr, 26.01.2019

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Guten Abend,
wir behandeln Gerade Abstände im Raum, z.B. zwischen einem Punkt und einer Geraden. Dabei wurde eine Aufgabe gestellt für die ich alleine leider keine Lösung finde.
Gegeben sind:
Die Gerade x→=(43-1)+t⋅(1-21)
und der Punkt P(8,p,5).

Es soll nun der Parameter p so bestimmt werden, dass der Abstand von P zur Geraden gleich 5 ist.

Wir haben für den Abstand gelernt, eine Funktion aufzustellen und dann dafür das Minimum zu suchen. Hierfür wäre diese Funktion

5=(8-4+t)2+(p-3+(-1)t)2+(5+(-1)+t)2

Damit habe ich aber zwei Unbekannte und kann folglich nicht nach p lösen.
Mir fällt aber keine andere Möglichkeit ein p zu finden. Meine Frage ist nun, wie kann ich vorgehen, um p zu finden und gibt es vielleicht für die Abstandsberechnung Punkt-Gerade noch andere Möglichkeiten.

Für Hilfe wäre ich ihnen sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

22:32 Uhr, 26.01.2019

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Der Abstand eines Punktes von einer Geraden in ℝ3 läßt sich auch mit dem Kreuzprodukt bestimmen.
g:x→=A→+t⋅v→   A→ ist der Ortsvektor des Aufpunktes und v→ der Richtungsvektor.
Sein P der Punkt außerhalb der Geraden.
Dann ist der Abstand
d=|AP→xv→||v→|
SchulerX

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23:40 Uhr, 26.01.2019

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Danke für die Antwort!

Das heißt, ich bilde zunächst den Verbindungsvektor vom Stützpunkt und dem Ortsvektor meines Punktes. Damit komme ich auf (4p-36).
Anschließend das Kreuzprodukt mit dem Richtungsvektor bilden und ich erhalte (p+92-p-11) als Ergebnis. Davon den Betrag ergibt (p+9)2+(2)2+(-p-11)2.
Dann die Gleichung
5=(p+9)2+(2)2+(-p-11)26
mit dem Taschenrechner auflösen.

Dann erhalte ich als Ergebnis p=-18,49 und p=-1,51

Können sie das bestätigen?
Antwort
Respon

Respon

23:43 Uhr, 26.01.2019

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Kreuzprodukt : statt -p-11   sollte es -5-p heißen.
Der Betrag des Richtungsvektors ist 6
SchulerX

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00:20 Uhr, 27.01.2019

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Ok danke sehr, da habe ich beim Kreuzprodukt einen Vorzeichenfehler gehabt.
Wenn ich jetzt diese Werte einsetze, erhalte ich p=-15,3 und p=1,3.
Sind diese beiden richtig?
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Respon

Respon

00:25 Uhr, 27.01.2019

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Vergleiche:
Die exakten Werte sind p1=-7+69 und p2=-7-69
Du kannst ja die Probe machen, indem du mit diesen Lösungen den Abstand des Punkte berechnest.
Frage beantwortet
SchulerX

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21:59 Uhr, 27.01.2019

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Okay das passt jetzt, die gerundeten Werte stimmen mit den genauen überein. Vielen Dank für ihre Hilfe, das war mir sehr wichtig!