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Punkte mit waagrechter Tangentialebene bestimmen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: e-Funktion, eben, Partielle Differentialgleichungen, Punkt, waagerechte Tangente

 
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Culinaris

Culinaris aktiv_icon

16:09 Uhr, 08.07.2015

Antworten
Gegeben sei die Funktion

Aufgabenstellung siehe Foto.

Kann mir dabei jemand bitte helfen ?

Liebe grüße
Culinaris

IMG_8580

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Culinaris

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10:12 Uhr, 09.07.2015

Antworten
Zur Aufgabe
Partielle Ableitungen 1. Ordnung:
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Zur Aufgabe
Tangentialebene im Punkt

fx(0,1)=
fy(0,1)=


Zur Aufgabe
Steilster Anstieg im Punkt
grad (fx(x,y); fy(x,y))
grad
(fx fällt weg, da oder ?)

Zur Aufgabe
Voraussetzung ist fx(x,y) und fy(x,y) aber da komme ich leider nicht weiter....

Ich hoffe, dass es soweit passt und bitte um weiter Hilfe für die Aufgaben und .
Danke im Voraus.
Culinaris
Antwort
DerDepp

DerDepp aktiv_icon

11:49 Uhr, 09.07.2015

Antworten
Hossa :-)

Zu Teil (c):

Wenn du die Ebenen-Gleichung in der Form schreibst, erkennst du ein Skalarprodukt. Bei vorgegebener Länge des Vektors ist dieses Skalarprodukt maximal, wenn parallel zu ist. Die Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt (0,1) ist also:

Zu Teil (d):

Beide partiellen Ableitungen müssen zugleich 0 sein:




Aus der ersten Forderung gewinnt man:
und setzt das in die zweite Forderung ein:



Diese beiden y-Werte in die erste Forderung eingesetzt, liefert die beiden möglichen Extremstellen:



Teil (e) und (f) sind nun noch Fleißarbeit mit den beiden Kandidaten und ...
Culinaris

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17:04 Uhr, 10.07.2015

Antworten
Hallo,

erstmal vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast und mir hilfst :-)
Ich würde dich noch bitten, dass du die partiellen Ableitungen 2.Ordnung überprüfst. Bin mir da sehr unsicher

Vieeeeeellleeen Dank schonmal :-D)









Antwort
ledum

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01:11 Uhr, 11.07.2015

Antworten

Hallo
die Fkt. ist doch in gar nicht definiert, in deiner Rechnung wurde mit multipliziert!
Gruss ledum
Culinaris

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12:50 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Hallo Ledum,
ich verstehe leider nicht ganz was du meinst

Culinaris

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13:58 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Habe jetzt nochmal die partiellen Ableitungen gemacht und bin auf diese gekommen:










Ich hoffe, dass sie diesmal richtig sind. Wäre euch sehr dankbar :-D)
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Hallo
steht im Nenner. Division durch 0 ist nicht definiert, also fuer nicht definiert.
so sieht deine flaeche in der Naehe von aus
Gruss ledum

Bildschirmfoto 2015-07-11 um 3.02.48 PM
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:00 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Habe jetzt nochmal die partiellen Ableitungen gemacht und bin auf diese gekommen:
Fehler bei da fehlt am Anfang in der Klammer eine also

Fehler bei Es muss doch gelten. Anstelle von gehört da also in der Klammer am Ende ein .

Eine Anmerkung noch zu Aufgabe (steilster Anstieg in
Dieser stellt sich in Richtung ein und beträgt .

Gruß

EDIT: Worauf ledum dich vermutlich die ganze Zeit aufmerksam machen wollte ist, dass 0 nicht in der Definitionsmenge für liegt und der von DerDepp angegeben Punkt daher keine kritische Stelle ist, die untersucht werden muss.
Übrig bleibt daher nur und für diese Stelle ist die Determinante der Hesse-Matrix gleich und die zweiten partiellen Ableitungen und f_yy sind an dieser Stelle positiv bzw .


Culinaris

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16:07 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Vielen Dank :-)

Noch ne frage zur . Kann das bei dir nicht nachvollziehen wie du drauf kommst ???

Liebe Grüße
Culinaris
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:19 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Der größte Anstieg stellt sich in der Projektion des Normalvektors in z-Richtung auf die Fläche bzw. die Tangentialebene im Punkt ein und dieser extremale Anstieg ist der negative Kehrwert des Anstiegs von . Dieser ist weswegen der gesuchte Anstieg ist.
Culinaris

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18:14 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Der steilste Anstieg wird durch die Länge beschrieben. Das hab ich jetzt verstanden, aber ich verstehe nicht wie ich auf die Richtung komme...?





Antwort
Roman-22

Roman-22

23:11 Uhr, 11.07.2015

Antworten
Der steilste Anstieg wird durch die Länge beschrieben.
??? Keine Ahnung, was du damit meinst.

Wenn wir vom Anstieg sprechen, so ist die z-Richtung als "Höhe" unter den drei Hauptrichtungen also ausgezeichnet.
Betrachten wir die Situation aus der Vogelperspektive, also den Grundriss.
Der Normalvektor hat die x-Komponente 2 und die y-Komponente 2. Die z-Komponente ist aber das sehen wir von oben ja nicht. Betrachten wir jenen Repräsentanten von der im Flächenpunkt angreift. Der Vektor in der Tangentialebene (genauer gesagt, sein Repräsentant, der in "beginnt") der den größten Anstieg hat, sieht im Grundriss genau so aus wie . Also und y-Komponente 2. Nur die von oben nicht erkennbare z-Kompenente ist unterschiedlich. Wie groß ist diese also?
Da die beiden Vektor zueinander normal stehen, muss ihr Skalarprodukt Null ergeben.
Also ist woraus unmittelbar folgt.
Damit haben wir bereits die Raumrichtung mit dem größten Anstieg und ob wir nun oder angeben, beide Vektoren geben die gleiche Richtung an.



In meiner Antwort von Uhr gehört "P(2|2|1)" ersetzt durch "P(0|1|1)".


Culinaris

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13:50 Uhr, 12.07.2015

Antworten
Hi Roman,

Ich habe das mit dem Gradienten versucht und komme auf bzw. . Das ist dann mein steilster Anstieg oder ?



Zum Schluss befülle ich einfach die Formel und komme dann somit auf die Richtung bzw.

Kann man das so machen ?
Grüße Culinaris
Culinaris

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14:33 Uhr, 12.07.2015

Antworten
Wenn ich jetzt die Lokalen Extrema bzw Sattelpunkte bestimme, indem ich meine partiellen Ableitungen 2. Ordnung in die Hesse-Matrix einsetze, dann wird das doch ziemlich unübersichtlich und sehr lang.... kann ich das irgendwie vereinfachen oder kürzen ?

Grüße Culinaris
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:57 Uhr, 12.07.2015

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Die zweiten partiellen Ableitungen hast du ja schon und die Hesse-Matrix interessiert doch nur an der Stelle .
Culinaris

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18:59 Uhr, 12.07.2015

Antworten



lokales Minimum

Ist das richtig so ?
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:29 Uhr, 12.07.2015

Antworten
Ist das richtig so ?
Die letzte Zeile, ja. Aber die Determinante der Hessematrix ist falsch.

ist nicht sondern

und außerdem ist . Das wäre




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