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Rotationskörper

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: ausgedehnte, Fläche, Rotation, unbegrenzt, Volumen

charlychen aktiv_icon

12:47 Uhr, 06.04.2010

Hallo, ich habe eine Frage, die sich mit Rotation eines Drehköpers beschäftigt.

Ich weiß das

x \leq 1

. Außerdem habe ich einen Graphen

G_{1} : f_{1} (x) = {(e^{x - 1} - 1)}^{2}

und die beiden Geraden:

x = 1

und

y = 1

.
So, der Graph

G_{1}

und die beiden Geraden schließen eine unbegrenzt ausgedehnte Fläche ein.
Diese beschreibt bei Rotaion um die Gerade

y = 1

einen Drehkörper. Und nun soll ich davon das Volumen berechnen.

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Ich habe mir zuerst eine skizze gemacht, die ich auch unten angefügt habe. So ich weiß, dass ich diese Fläche verschieben muss, um besser rechnen zu können. zum einen um 1 Einheit in Richtung der x-Achse und dann nochmal um 1 Einheit in Richtung der y-Achse.

Die nötige Gleichung zur Berechnung des Volumens heißt:

π \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

Die Theorie weiß ich also schon, aber ich weiß nicht so ganz wie ich das nun alles anwende.

Ich bitte dringend um Hilfe.

lg,charlychen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

12:58 Uhr, 06.04.2010

Hallo,
fehlt da noch nicht ein Stück Fläche die du auch noch berechnen sollst?

edit:

Ah, ich sehe gerade, für

x < 1

, sorry

Und wozu willst du was verschieben?

charlychen aktiv_icon

13:03 Uhr, 06.04.2010

Naja das es ist doch eine Roation und ich glaube Rotationen gehen doch immer, um die x-Achse oder y-Achse oder?

Alx123 aktiv_icon

13:07 Uhr, 06.04.2010

Das heisst aber nicht das du extra den Graphen verschieben musst, wenn du das tust, wird sich ja der Rotationskörper verändern und dessen Volumen natürlich auch. Du musst einfach das Integral ausrechnen.

Wenn du die Fläche Im linken Bild um die x-Achse rotieren lässt, erhälst du eine Kugel.

Wenn du die Fläche im rechten Bild um die x-Achse rotieren lässt, erhälst du einen Torus der aber nur aus einer Kreishälfte besteht.

charlychen aktiv_icon

13:18 Uhr, 06.04.2010

Nagut und wie rechne ich das? die Formel habe ich ja aber ich weiß nicht so recht wie ich es alles einsetzten soll... ist denn egal, dass sich die Rotation um die Gerade

y = x

erfolgt?

Alx123 aktiv_icon

13:33 Uhr, 06.04.2010

Sorry, ich muss jetzt Schluss machen, ich werde das später ausrechnen.( Wenn dir bis dahin sonst niemand hilft)

charlychen aktiv_icon

13:52 Uhr, 06.04.2010

ok... ich schau mal, ob mir was einfällt...

Alx123 aktiv_icon

20:21 Uhr, 06.04.2010

Ah, der Rotationskörper soll um die Gerade die paralell zu y-Achse verläuft und bei

1

die x-Achse schneidet, entstehen. Ich war in Eile und da habe ich nur die Gleichung:

π \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

gesehen und angenommen, die Funktion

f_{1}

soll um die x-Achse rotieren. Deshalb wolltest du ja auch die Funktion verschieben, schon klar. Man kann die Funktion entlang der Achse verschieben um die der Rotationskörper entsteht, ohne das Volumen des Rotationskörpers zuverändern.

Also die Fläche die du gegeben hast ist im ersten Bild ( von links ).

Um eine Funktion um

d

nach links zuverschieben setzt du einfach folgendes ein:

f (x + d)

Die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion lautet dann einfach:

f (x) = {(e^{x} - 1)}^{2}

das siehst du im zweiten Bild. Da die Fläche von oben durch die Konstante

1

beschränkt wird, kann man die Funktion folgendermaßen umschreiben:

f (x) = 1 - {(e^{x} - 1)}^{2}

(Bild 3)

Die Fläche hat sich dadurch nicht geändert, das ist aber nötig um später das Integral auszurechnen.

Da die Funktion um die y-Achse rotieren soll, brauchst du hierfür auch eine andere Gleichung:

V_{y} = π \int_{c}^{d} x^{2} d y = π \int_{c}^{d} {(g (y))}^{2} d y

eigentlich ist das die gleiche Gleichung wie die , die oben steht, hier benutzt man einfach die Umkehrfunktion, die muss man jetzt berechnen:

y = 1 - {(e^{x} - 1)}^{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} x = \ln (\pm \sqrt{1 - y} + 1)

da gilt:

x \leq 1

braucht man nur den Minus-Teil, wenn man noch

x

und

y

vertauscht, erhält man die Umkehrfunktion:

y = f^{- 1} (x) = \ln (1 - \sqrt{1 - x})

Bei Rotation um die x-Achse bildet diese Funktion den gleichen Rotationskörper. (Bild 4)

Letztendlich gilt dann für das Volumen

V

V = π \int_{0}^{1} (\ln (1 - \sqrt{1 - x}))^{2} d x

Dieses Integral ist uneigentlich, man kann es mit folgender Substitution lösen:

1 - \sqrt{1 - x} = e^{t} \Rightarrow - 2 (e^{t} - 1) e^{t} d t = d x

da du ja angeblich in der 13. Klasse bist und ich mich nicht daran erinnern kann, solche Integrale in meiner Schulzeit gelöst zuhaben, bezweifle ich ob das der beste Weg ist, diese Aufgabe zulösen.

Ich habe raus:

V = {[- 2 π (\frac{4 t^{2} - 4 t + 2}{8}) e^{2 t} + 2 π (t^{2} - 2 t + 2) e^{t}]}_{- \infty}^{0} = \frac{7}{2} π

charlychen aktiv_icon

17:27 Uhr, 07.04.2010

Der Rotationskörper soll sich doch aber glaube ich um die Gerade

y = 0

drehen... ist das nicht die x-Achse nur um 1 nach oben verschoben?

Ich habe es auch mal versucht so zu rechnen aber ich bin ab dem schritt, wo man nach

x

umgestellt hat, nicht mehr mitgekommen? Wenn sich der Körper nun um die x-Achse dreht und man dann die Gleichung:

f (x) = {(e^{x} - 1)}^{2} - 1

So und nun könnte man doch diese Gleichung einfach in die Volumenformel:

V = π \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

einsetzen?

dann setz ich also ein:

V = π \int_{\infty}^{0} {({(e^{x} - 1)}^{2} - 1)}^{2} d x

Substituieren:

t = e^{x} - 1 \to

t´=

e^{x} \to e^{x}

=du/dx

\to d x =

du/e^x

einsetzen:

V = π \int_{\infty}^{0} {(t^{2} - 1)}^{2} \cdot

/ e^{x}

So stimmt das oder habe ich einen denkfehler drin?
Und wie gehts weiter?

Danke schon mal!

lg,charlychen

Alx123 aktiv_icon

21:47 Uhr, 07.04.2010

Oben schreibst du doch das der Graph um die Gerade

y = 1

rotieren soll, damit ist doch die Parallele zu y-Achse gemeint, die auch in deiner Zeichnung die Fläche von rechts bei

x = 1

begrenzt.

Der Sinn der Umkehrfunktion war ja die y-Rotation in eine x-Rotation umzuwandeln um eben die Formel:

V_{x} = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

benutzen zukönnen, die ja identisch mit der Formel:

V_{y} = π \int_{c}^{d} (g (y))^{2} d y

ist, wenn man

g (y)

als Umkehrfunktion von

f (x)

betrachtet.

Das hört sich vielleicht etwas verwirrend an, es geht einfach darum das du erst die Umkehrfunktion bestimmen musst um die dann in die erste Formel einsetzt, dadurch berrechnest du das Volumen des Rotationskörpers bezogen auf die y-Achse.

Wenn du das Volumen des Rotationskörpers (x-Rotation) berrechnen willst, dann setzt du die eigentliche Funktion in die erste Formel.

Du darfst die Funktion nur entlang der Achse verschieben um die auch der Rotationskörper entstehen soll, sonst veränderst du den Rotationskörper ( ein Beispiel dafür habe ich dir ja oben schon gezeigt ). Unter bestimmten Voraussetzungen kann man auch entlang der anderen Achse die Funktion verschieben, doch diese sind hier nicht gegeben.

Also wenn die Aufgabe nun doch lautet: Bestimme das Volumen des Drehkörpers der entsteht wenn

G_{1}

um die x-Achse rotiert, dan darfst du die Funktion nicht um eins nach unten verschieben, du schreibst:

V_{x} = π \int_{- \infty}^{0} {(e^{x} - 1)}^{4} d x

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