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Sattelpunkt einer Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Parameter, Sattelpunkt, Wendepunkt

sara-92 aktiv_icon

18:42 Uhr, 21.04.2010

Für welche reellen, positiven Werte des Parameters a besitzt

f (x) = x^{3} + a \cdot x^{2} + a \cdot x - a^{2}

einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente)?

Ich würde jetzt die erste Ableitung bilden:

f' (x) = 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot a \cdot x + a

dann 0 setzen und nach a auflösen:

a = \frac{- 3 \cdot x^{2}}{2 x + 1}

kann man das noch weiter zusammenfassen?
Wie soll ich weitermachen?

Bitte um Hilfe!
Gruß, Sara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

18:45 Uhr, 21.04.2010

Sattelpunkt:

erste und zweite Ableitung

= 0

f' (x) = 3 x^{2}

+2ax+a=0
und

f'' (x) = 6 x + 2 a = 0

aus der zweiten Bedingung

x = - \frac{1}{3} a

in die erste eingesetzt:

3 \cdot {(- \frac{1}{3} a)}^{2} + 2 a (- \frac{1}{3} a) + a = 0

damit dann a ausrechnen

\frac{1}{3} a^{2} - \frac{2}{3} a^{2} + a = 0

- \frac{1}{3} a^{2} + a = 0

a^{2} - 3 a = 0

a (a - 3) = 0

a = 0

oder

a = 3

sara-92 aktiv_icon

18:49 Uhr, 21.04.2010

Muss ich nach dem 0-setzen in der ersten Ableitung nicht a ausrechnen?

michael777 aktiv_icon

18:52 Uhr, 21.04.2010

genau
ich habs oben komplett gerechnet
du hast 2 Gleichungen mit den Unbekannten a und

x

diese kannst dann ausrechnen

a = 3

x = - 1

michael777 aktiv_icon

18:55 Uhr, 21.04.2010

du kannst auch zuerst

a

in Abhängigkeit von

x

ausrechnen, diesen Wert dann einsetzen,

x

ausrechnen und dann dieses

x

in das erste Ergebnis für a einsetzen um den Wert von a ohne

x

rauszubekommen.

sara-92 aktiv_icon

18:55 Uhr, 21.04.2010

Okay, vielen Dank schonmal...
aber wie kommst du denn von

- \frac{1}{3} \cdot a^{2} + a = 0

auf

a^{2} - 3 \cdot a = 0

sara-92 aktiv_icon

18:56 Uhr, 21.04.2010

darf man einfach mit

- 3

multiplizieren?

michael777 aktiv_icon

18:57 Uhr, 21.04.2010

klar, warum denn nicht? ist doch eine Gleichung

sara-92 aktiv_icon

18:58 Uhr, 21.04.2010

stimmt, okay...
und wie kommst du auf

x = - 1

a

in die Ausgangsfunktion einsetzen?

michael777 aktiv_icon

19:00 Uhr, 21.04.2010

schau mal weiter oben
das steht
aus der zweiten Bedingung

x = - \frac{1}{3} a

in diese Gleichung

a = 3

einsetzen

sara-92 aktiv_icon

19:02 Uhr, 21.04.2010

ohja stimmt, oder einfach in die zweite Ableitung

sara-92 aktiv_icon

19:03 Uhr, 21.04.2010

und was meinst du mit diesem Satz: ,,du kannst auch zuerst

a

in Abhängigkeit von

x

ausrechnen, diesen Wert dann einsetzen,

x

ausrechnen und dann dieses

x

in das erste Ergebnis für a einsetzen um den Wert von a ohne

x

rauszubekommen.''

Bin ich jetzt eigentlich mit der Aufgabe fertig?

michael777 aktiv_icon

19:05 Uhr, 21.04.2010

das wäre eine alternative Lösungsmöglichkeit

wenn du

a = 3

hast, ist die Aufgabe gelöst
es wurde ja nicht nach dem Sattelpunkt gefragt, der bei

x = - 1

ist

sara-92 aktiv_icon

19:08 Uhr, 21.04.2010

Okay, vielen Danke!
Der Sattelpunkt wäre dann bei

(- 1 | - 10)

oder?

michael777 aktiv_icon

19:10 Uhr, 21.04.2010

richtig

sara-92 aktiv_icon

19:11 Uhr, 21.04.2010

gut, dankeschön :-)

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