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Skalarprodukt

Schüler

Tags: Kosinussatz, Satz des Pythagoras

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20:38 Uhr, 03.09.2016

Hallo,

ich habe mal ein paar Punkte zum Skalarprodukt geschrieben, die Schritt für Schritt zum Kosinussatz und zum Satz des Pythagoras führen.

Ich bitte um Überprüfung, ob das alles so korrekt ist und ob ich was vergessen habe ;-)

Skalarprodukt (SP):

$1)$ Das SP zweier Vektoren ergibt einen Skalar:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} =$ Skalar

$2)$ Mit Hilfe des Sp ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung den Betrag eines Vektors zu berechnen.
Das SP eines Vektors mit sich selbst, ist das Quadrat seines Betrags.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$

$3)$ Mit Hilfe des SP, kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen:

(hier kommt meine Zeichnung)

Bezeichnet der Vektor $\vec{b_{a}}$ die Normalprojektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ und bezeichnet $φ$ den Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b},$ dann ist der Betrag von $\vec{b_{a}}$ gleich dem Betrag von $\vec{b}$ multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, also:

$| \vec{b_{a}} | = | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Für den Betrag von $\vec{b_{a}}$ gilt:

$| \vec{b_{a}} | > 0$ falls $\vec{b_{a}}$ und $\vec{a}$ gleichorientiert sind
$| \vec{b_{a}} | < 0$ falls $\vec{b_{a}}$ und $\vec{a}$ entgegengesetzt orientiert sind

Das SP von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt nun:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b_{a}} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Die Bestimmung des Winkels erhält man durch Umstellung:

$cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

$4)$ Das SP führt zum Kosinussatz:

Man bildet ein Dreieck mit den Kanten $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a - b}$

Der Betrag von $\vec{a - b}$ ergibt sich gemäß $2) :$

${| \vec{a - b} |}^{2} = (\vec{a - b}) \cdot (\vec{a - b})$

Ausmultipliziert mit binomischer Formel ergibt:

${| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2}$

Daraus folgt gemäß $3) :$

${| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ) + {| \vec{b} |}^{2}$

Das ist der Kosinussatz.

5)Das SP zweier senkrechter Vektoren ist gleich Null:

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Bildet man gemäß $4)$ das SP zweier senkrechter Vektoren, so erhält man den Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes:

${| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (90) + {| \vec{b} |}^{2}$

$\Leftrightarrow {| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 0 + {| \vec{b} |}^{2}$

Da der Kosinus von $90$ Grad gleich Null ist, entfällt der mittlere Term.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Satz des Pythagoras

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

21:20 Uhr, 03.09.2016

Hallo
1,du kannst niemals schreiben, dass ein Betrag $< 0$ ist, das widerspricht der Definition von Betrag,
$2,$ was du sagen willst: ist der Winkel zwischen a und $b$ >90° dann weisst $\vec{b_{a}}$ in Gegenrichtung von $\vec{a},$ aber wozu brauchst du das? das kommt schon raus weil $cos$ für Winkel >90° negativ ist.
entscheidend ist wie du von ab=a_x*b_x+a_y*b_y auf $a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot cos (α)$ kommst, ob das richtig ist hängt von deiner Zeichnung und Kommentar dazu ab,
bildet man gemäß 4 ist schlecht: hier sollte stehen die Hypothenuse in einem Rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenvektoren a und $b$ ist $a - b$ dann gilt nach 4
Gruß ledum

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22:07 Uhr, 03.09.2016

ok, danke für die Hinweise.

Ich mache den entscheidenden Schritt nochmal, die Zeichnung ist zugefügt.

Der Vektor $\vec{b_{a}}$ ist die Normalprojektion des Vektors $\vec{b}$ auf den Vektor $\vec{a}$ .
Die Winkelbeziehung für den Betrag von $\vec{b_{a}}$ ist gleich $\vec{b}$ multipliziert mit dem Kosinus des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossenen Winkels, also:

$| \vec{b_{a}} | = | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Edit:

habe alles weitere gelöscht, bis hier hin stimmt es oder?

Roman-22

22:41 Uhr, 03.09.2016

$>$ bis hier hin stimmt es oder?
Nein. Sobald du auf die Beträge abstellst, verlierst du die stumpfen Winkel und wenn du schreibst |xxx|=|yyy|*cos $φ$ ist es falsch, sobald $φ$ stumpf ist. Denn da ist der Kosinus negativ und dann hättest du einen positiven Linksterm (wegen des Betrags) aber einen negativen Rechtsterm. Das kann kaum richtig ein.

Richtig ist, dass der Vektor ${\vec{b}}_{a}$ aus dem Vektor $\vec{a}$ hervorgeht, indem man diesen normiert $\to {\vec{a}}_{0} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ und diesen Einheitsvektor mit $| \vec{b} | \cdot cos φ$ multipliziert.

Also ${\vec{b}}_{a} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \cdot | \vec{b} | \cdot cos φ$

$R$

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17:49 Uhr, 04.09.2016

Ich checke grade nicht, warum der Einheitsvektor von $\vec{a}$ gebildet werden muss.
Wieso muss $\vec{a}$ erst normiert werden damit $\vec{b_{a}}$ aus $\vec{a}$ hervorgeht?
Wieso muss man ihn mit $| \vec{b} |$ und $cos (φ)$ multiplizieren?

Roman-22

18:21 Uhr, 04.09.2016

$>$ Wieso muss a→ erst normiert werden damit ba→ aus a→ hervorgeht?
Wir suchen einen Vektor, der die gleiche Richtung (nicht unbedingt aber gleiche Orientierung) wie $\vec{a}$ haben soll und von dem wir die Länge (inkl- Orientierung, also das Vorzeichen im Vgl zu $\vec{a}))$ kennen. Nehmen wir an, die Länge sei 6. Da nehmen wir eben den Einheitsvektor ${\vec{a}}_{0}$ und multiplizieren ihn mit 6. Ohne Einheit kommen wir auch nicht auf die Länge 6.

$>$ Wieso muss man ihn mit |b→| und cos(φ) multiplizieren?
Weil der Betrag von $| \vec{b} | \cdot cos φ$ die Länge des projizierten Vektors ist und das Vorzeichen von $cos φ$ entscheidet noch zusätzlich über die Orientierung.

$R$

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18:40 Uhr, 04.09.2016

Ich glaube, jetzt kapiere ich, was du meinst.

Deine erste Kritik bezog sich darauf, dass ich auf die linke Seite der Gleichung $| \vec{b_{a}} |$ und nicht $\vec{b_{a}}$ geschrieben habe. Klar, im Falle eines negativen Kosinuswertes, wäre die Gleichung wiedersprüchlich, da der Betrag immer positiv ist.

Zum Einheitsvektor:

Den bildest du aus dem Grund, weil die Zeichnung nicht in einem Koordinatensystem gezeichnet ist, und man somit eine Norm braucht.

Also, wenn ich es richtig verstanden habe, wird der Einheitsvektor nur aus formalem Grund gebildet?

Roman-22

19:08 Uhr, 04.09.2016

$>$ Den bildest du aus dem Grund, weil die Zeichnung nicht in einem Koordinatensystem gezeichnet ist, und man somit eine Norm braucht.
?? Wenn wir von Längen sprechen wär eine Norm generell nicht so übel, oder?
Wenn ich nicht weiß, wie groß eine Einheit ist, wirds schwer, einen Vektor mit einem bestimmten Betrag zu kreieren.

$>$ Also, wenn ich es richtig verstanden habe, wird der Einheitsvektor nur aus formalem Grund gebildet?
"nur aus formalen Gründen" würde ich nicht formulieren. Wie wolltest du denn sonst den Vektor ${\vec{b}}_{a}$ festlegen?
Er hat die gleiche Richtung wie $\vec{a},$ daher ist er ein skalares Vielfaches von $\vec{a}$ .
Wir kennen die Länge von ${\vec{b}}_{a}$ aber nur in Relation zur Länge von $\vec{b}$ . Wir wissen nicht, ob ${\vec{b}}_{a}$ das $3,4$ fache von $| \vec{a} |$ ist oder das -0,7-fache. Wir wissen zB nur, dass $| {\vec{b}}_{a} |$ das -0,5-fache von $| \vec{b} |$ ist. Wie willst du jetzt zu ${\vec{b}}_{a}$ als Vielfaches von $\vec{a}$ kommen?
Eine Möglichkeit ist eben die über den Einheitsvektor von $\vec{a}$ .

Eine andere Möglichkeit ist, das Verhältnis $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |}$ zu ermitteln und mit $cos φ$ zu multiplizieren. Es geht ja auch nur um das Längenverhältnis der beiden Vektoren.
Damit hätten wir dann ${\vec{b}}_{a} = \frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} \cdot cos φ \cdot \vec{a}$ .
Aber wie du siehst. landen wir im Wesentlichen wieder beim gleichen Ausdruck.

$R$

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20:08 Uhr, 04.09.2016

Ok klar, die Aussage war dumm, man braucht immer Einheits-bzw.Basisvektoren.

Also könnte man das so formulieren:

Um das SP geometrisch zu verstehen, projiziert man $\vec{b}$ auf $\vec{a}$ und erhält den Vektor $\vec{b_{a}}$ .

Dieser Vektor errechnet sich über den Betrag von $\vec{b}$ und den Kosinus, des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossenen Winkels.

$\Rightarrow \vec{b_{a}} = | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Es zeigt sich auch, dass $\vec{b_{a}}$ aus dem Vektor $\vec{a}$ hervorgeht, indem man diesen normiert $\to \vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ und diesen Einheitsvektor mit $| \vec{b} | \cdot cos (φ)$ multipiziert.

$\Rightarrow \vec{b_{a}} = \vec{a_{0}} \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Indem man nun den Betrag von $\vec{a}$ mit dem Betrag von $\vec{b_{a}}$ multipliziert, erhält man das Skalarprodukt.

$| \vec{a} | \cdot | \vec{b_{a}} | =$ Flächeninhalt eines von beiden Beträgen aufgespannten Rechtecks =Skalarprodukt

$\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b_{a}} | = | \vec{a} | \cdot \vec{a_{0}} \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Roman-22

22:45 Uhr, 04.09.2016

$>$ |a→|⋅|ba→|= Flächeni......=Skalarprodukt
Ist leider auch nicht richtig, denn das Produkt aus zwei Beträgen ist immer positiv, das Skalarprodukt kann aber auch negativ sein.

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23:40 Uhr, 04.09.2016

Wie kann ich mir veranschaulichen, wann ich Beträge einsetzen muss und wann nicht?

ledum aktiv_icon

01:46 Uhr, 05.09.2016

Hallo
schreib doch $| \vec{b_{a}} | = | b \cdot cos (φ) |;$ dabei hat $\vec{b_{a}}$ hat die Richtung von $\vec{a}$ für \phi<90° die Richtung von $- \vec{a}$ für \phi>90°.
Wenn du sowieso eine Zeichnung anfügst, kannst du ja beide Fälle zeichnen.
Aber der schwierigste Teil fehlt, wo zeigst du dass das Skalarprodukt das du als $a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ am Anfang definiert hast jetzt
$| a | \cdot | b | \cdot cos (φ)$ ist?
Gruß ledum

Roman-22

02:52 Uhr, 05.09.2016

Achtung bei den Begriffen!
ledums "Richtung" ist nur umgangssprachlich zu verstehen!

Wenn wir unter einem Vektor wie üblich etwas verstehen, das durch Betrag, Richtung und Orientierung festgelegt ist, dann ist das, was ledum Richtung nennt in Wirklichkeit die Orientierung.
$\vec{a}$ und $- \vec{a}$ haben also in diesem Sinn die gleiche Richtung, aber entgegengesetzte Orientierung.

Ich weiß, umgangssprachlich würden wir nie behaupten, der Geisterfahrer der uns da entgegenkommt fährt in die gleiche Richtung wie wir, er hat bloß die entgegengesetzte Orientierung ;-)

$R$

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15:34 Uhr, 05.09.2016

ok, dann scheibe ich es so:

Der Betrag von $\vec{b_{a}}$ errechnet sich über den Betrag von $\vec{b}$ multipliziert mit dem Kosinus des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossenen Winkels.
Dabei hat $\vec{b_{a}}$ die Orientierung von $\vec{a}$ für $φ <$ 90° und die Orientierung von $\vec{- a}$ für $φ >$ 90°.

ZEICHNUNG FÜR BEIDE FÄLLE

Es zeigt sich auch, dass $\vec{b_{a}}$ ein Vielfaches des Vektors $\vec{a}$ ist und aus diesem hervorgeht, indem man $\vec{a}$ normiert $\to \vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ und diesen Einheitsvektor mit $| \vec{b} \cdot cos (φ) |$ multipliziert.

Daraus ergibt sich für den Vektor $\vec{b_{a}} :$

$| \vec{b_{a}} | = | \vec{a_{0}} \cdot \vec{b} \cdot cos (φ) |$

@ledum

Ich kann zeigen, dass $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$ ist, indem ich aufzeige, dass $\vec{b}$ gleich dem Verhältnis von $\vec{b_{a}}$ und dem $cos (φ)$ ist. Irgendwie so in der Art denke ich mal....

ledum aktiv_icon

16:48 Uhr, 05.09.2016

Hallo
deine Antwort verstehe ich nicht:
du hast $a \cdot b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ und a*b=|a||b|*cos(\(phi) wie passen die 2 zusammen?
Hilfe: wobei man auch a schreiben kann $\vec{a} = | a | \cdot (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \end{matrix})$ mit $α =$ Winkel zur x-Achse entsprechend $b$
Gruss ledum

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20:58 Uhr, 05.09.2016

Hallo Ledum, sorry für manche Aussagen von mir, ich denke meistens nur laut ;-)

also, das müsste dann sein:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$

$\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = (| \vec{a} | \cdot cos (α) \cdot | \vec{b} | \cdot cos (β)) + (| \vec{a} | \cdot sin (α) \cdot | \vec{b} | \cdot sin (β))$

mit $α, β$ Winkel zur x-Achse

$\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (α - β)$

hoffe das stimmt einigermaßen...

ledum aktiv_icon

23:10 Uhr, 05.09.2016

Hallo
ja, stimmt, wenn man die oboge Darstellung von $a_{x} . b_{x}$ kennt. eigentlich ist ja $a_{x}$ das Skalarprodukr von $\vec{e_{x}} \cdot \vec{a}$ mit $e_{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$
Gruß ledum

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16:01 Uhr, 06.09.2016

@ledum

Ich verstehe aber immer noch nicht ganz den Schritt von

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (| \vec{a} | \cdot cos (α) \cdot | \vec{b} | \cdot cos (β)) + (| \vec{a} | \cdot sin (α) \cdot | \vec{b} | \cdot sin (β))$

zu

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (α - β)$

Matheboss aktiv_icon

16:09 Uhr, 06.09.2016

Trigonometrische Zusammenhänge

$cos (α - β) = cos (α) \cdot cos (β) + sin (α) \cdot sin (β)$

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16:31 Uhr, 06.09.2016

achso, Additionstheorem

Matheboss aktiv_icon

16:44 Uhr, 06.09.2016

genau!

Ausklammern und Additiontheorem.

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18:15 Uhr, 06.09.2016

ok danke!

also dann könnte ich die ersten Punkte für das Skalarprodukt folgendermaßen schreiben:

$1)$ Definition: Das SP zwischen zwei vektoren ergibt einen Skalar.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} =$ Skalar

$2)$ Betrag eines Vektors: Mit Hilfe des SP ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung den Betrag eines Vektors zu berechnen.
Das SP eines Vektors mit sich selbst, ist das Quadrat seines Betrags.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) = a_{x} \cdot a_{x} + a_{y} \cdot a_{y} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2} = {| \vec{a} |}^{2}$
$\Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$

$3)$ Winkel zwischen zwei Vektoren: Mit Hilfe des Sp kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

Die Vektoren werden in Polarkoordinaten dargestellt
$\vec{a} = | \vec{a} | \cdot (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \end{matrix})$ und $\vec{b} = | \vec{b} | \cdot (\begin{matrix} cos (β) \\ sin (β) \end{matrix})$ mit $α, β$ Winkel zur x-Achse.

Man berechnet die Beträge der Vektoren sowie die entsprechenden Winkel. Dazu nimmt man die Formel: $cos (α, β) = \frac{x}{r}$

Wenn man das SP bildet, erhält man gemäß der Definition des SP:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (| \vec{a} | \cdot cos (α) \cdot | \vec{b} | \cdot cos (β)) + (| \vec{a} | \cdot sin (α) \cdot | \vec{b} | \cdot sin (β))$

Das Ausklammern der Beträge führt zu:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot (cos (α) \cdot cos (β)) + | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot (sin (α) \cdot sin (β))$

Gemäß der Additionstheoreme lässt sich der Ausdruck vereinfachen und man erhält die Formel:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (α - β)$

Der Winkel $(α - β)$ entspricht dem Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und wird im folgenden mit $φ$ bezeichnet.

$\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

Durch Umstellung der Formel lässt sich nun der Winkel zwischen beiden Vektoren bestimmen:

$\Rightarrow cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

ledum aktiv_icon

18:59 Uhr, 06.09.2016

Hallo
ich finde das jetzt gut geschrieben.
zu $3)$ würde ich eine Zeichnung machen, dazu dann: stzt man die Definition von Winkeln und $cos$ und sin voraus gilt $a_{x} = | a | \cdot cos (α)$ wobei $α$ der winkel zur $x -$ Achsem bzw $\vec{e_{x}}$ ist.
$(\in$ Wirklichkeit wird durch $cos (α) = \frac{a_{x}}{a}$ in der Vektorrechnung erst eingeführt, was man unter einem Winkel bzw seinem $cos$ versteht, aber das führt auf der Schule zu weit, du setzt also voraus, dass man eine Definition hat, was ein Winkel ist und was $cos$ eines Winkels ist.)
gegen Ende hast du nicht wirklich $| a | \cdot | b |$ ausgeklammert!
auch zu \\alpha-\beta=\\phi wär eine Skizze gut. wenn das ein S. lesen soll, der das nicht direkt sieht,
Gruß ledum

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19:12 Uhr, 06.09.2016

Hallo,

danke für deine Hinweise. Natürlich, du hast Recht. Ausklammern ergibt:

$| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot (cos (α) \cdot cos (β) + sin (α) \cdot sin (β))$

ok, jetzt könnte ich im nächsten Schritt zum Kosinussatz mithilfe des SP kommen, oder fehlt davor noch etwas?

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15:01 Uhr, 07.09.2016

Hallo
sieht alles gut aus, wenn du die erwänten Skizzen hinzufügst
Gruß ledum

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17:48 Uhr, 07.09.2016

ok danke,

könntest du mir nchmal erklären, was es mit dem projizierten Vektor auf sich hat? Das habe ich noch nicht so ganz verstanden irgendwie.

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 07.09.2016

Hallo
ich verstehe die Frage nicht, du hast doch die richtige Skizze in deinem post von $22 : 07$ Uhr, $03.09.2016$ ?
was hast du nicht verstanden?
statt projizieren von $\vec{b}$ auf $\vec{a,}$ kannst du auch sagen $b_{a}$ die Komponente von $\vec{b}$ in Richtung $\vec{a}$
meinst du sowas? so wie $b_{x}$ die Komponente von $\vec{b}$ in x-Richtung ist und $b_{y}$ die Komponente von $\vec{b} \in y -$ Richtung
Gruß ledum

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20:28 Uhr, 07.09.2016

@ledum

Ich verstehe grade nicht den Zusammenhang:

Also der projizierte Vektor ergibt sich aus $| \vec{b} | \cdot cos (φ)$ bzw. $| \vec{a} | \cdot cos (φ)$ richtig? Je nachdem, welchen Vektor man auf den anderen projiziert. Das bedeuted, dass ich das erst als Punkt $4)$ schreiben kann, da ich in Punkt $3)$ erstmals herausgefunden habe, dass der Zusammenhang $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$ besteht.

Sehe ich das richtig? Oder unter welchen Punkt passt das, mit dem projizierten Vektor?

ledum aktiv_icon

12:43 Uhr, 09.09.2016

Hallo
so wie du es jetzt formulierst, ist es wieder falsch, die Komponente von $\vec{b}$ in Richtung $\vec{a}$ ergibt sich aus $b_{a} = | b | \cdot cos (φ)$
der Vektor $\vec{b_{a}} = b_{a} \cdot \frac{\vec{a}}{| a |}$
eigentlich geht das direkt aus deiner -skizze hervor, dazu brauchst du noch kein Skalarprodukt.
Wennn du von Punkt 3 und Punkt 4 schreibst komm ich nicht mit, geht das auf den allerersten post zurück? Wenn du so Fragen stellst kannst du doch mit cut and paste schnell deinen jetzigen Stand hinschreiben.
Eigentlich war doch alles klar und gut, ich hatte nur gesagt, dass wenn das nicht nur für dich ist, dass dann ein paar Skizzen helfen würden. Ich versteh- ohne deinen Text mal als ganzes zu sehen nicht mehr, was du noch willst.
eine einzige Skizze zeigt fast alles .
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

12:43 Uhr, 09.09.2016

sorry, Doppepost

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18:12 Uhr, 10.09.2016

Nochmal eine Frage, könnte ich das auch so formulieren:

Mit Hilfe des Skalarproduktes lässt sich ein Vektor in seine x-Komponente und in seine y-Komponente zerlegen, indem man das Skalarprodukt des Vektors mit dem entsprechenden Einheitsvektor bildet: $\vec{e_{x}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{e_{y}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

Beispiel: $\vec{a} \cdot \vec{e_{x}} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = a_{x} \cdot 1 + a_{y} \cdot 0 = a_{x}$

und $\vec{a} \cdot \vec{e_{y}} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = a_{x} \cdot 0 + a_{y} \cdot 1 = a_{y}$

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:
Wenn einer der beiden Vektoren ein Einheitsvektor ist, dann ist das SP die Länge der Projektion des anderen auf den Einheitsvektor. In der folgenden Zeichnung ist $\vec{e_{x}}$ ein Einheitsvektor und das SP ist die Länge der roten Linie, welche die Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{e_{x}}$ ist und damit gleichzeitig die x-Komponente von $\vec{a}$ ist.(siehe Zeichnung)

ledum aktiv_icon

22:17 Uhr, 13.09.2016

Hallo
Nein hier hast du nur benutzt dass die Schreibweise $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix})$ eine Abkürzung für vec(a)=a_x*vec(ex)+a_y*vec(e_y) ist, und noch nicht dass das skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ die Projektion von $\vec{a}$ auf die Richtung von $\vec{b}$ ist.
warum willst du immer alles, was schon gut und richtig war nochmal ändern?
Gruß ledum

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03:52 Uhr, 14.09.2016

@ledum,

Das würde ich dann im nächsten Schritt tun....ist doch aber nicht falsch, was ich geschrieben habe mit dem Einheitsvektor oder? Vielleicht hast du auch Recht und ich mache zuviel des Guten;-)
LG

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03:52 Uhr, 14.09.2016

Ich denke, ich beende es hier an der Stelle und lese mir nochmal deine Beiträge durch. Bin wohl zu aufgeregt, weil bald das Studium losgeht. Danke für die Hilfe @ledum und alle anderen.

willyengland aktiv_icon

08:27 Uhr, 14.09.2016

Noch eine, wie ich finde interessante Info:
Wie kann man sich das Skalarprodukt geometrisch anschaulich machen?
Beim Vektorprodukt hat man ja die Fläche des Parallelogramms, aber was ist das Skalarprodukt?
Hier gilt folgendes: (Zitat)

"Bildet man aus zwei Seiten eines allgemeinen Dreiecks (beim rechtwinkligen Dreieck) Katheten entsprechender Länge, so unterscheidet sich das zugehörige Hypotenusenquadrat vom Quadrat über der dritten (allgemeinen) Dreiecksseite genau um das Doppelte des Skalarproduktes."

Das Skalarprodukt ist also der Korrekturterm, wenn man den Satz des Pythagoras auf allgemeine Dreiecke anwendet.

Das ist hier erklärt:
http//www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek2/linalg/skp/skp_geo.pdf
$(2$ . Seite)

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13:29 Uhr, 14.09.2016

Auf jedenfall interessant!

ledum aktiv_icon

20:08 Uhr, 14.09.2016

Hallo
das wurde ja gerade mit der Herleitung des Vos- Sttzes = erweiterter Pythagoras gezeigt.

Gruß ledum

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01:11 Uhr, 15.09.2016

Richtig, der Satz des Phytagoras war quasi "mein" Endresultat.

willyengland aktiv_icon

07:46 Uhr, 15.09.2016

Ha, ha, stimmt!
Aber klar geworden war es mir nicht! :-)
Für mich war das oben nur theoretische Rumrechnerei mit vielen Betragsstrichen $. .$ .
Das Skalarprodukt als "Korrekturtherm" war da nur eine Randerscheinung.

Egal, interessantes Thema!

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19:48 Uhr, 16.09.2016

Also ich fasse nochmal den "Weg" zum Kos-Satz und Satz $d$ .Py. zusammnen:

$1)$ Definition: Das Skalarprodukt (SP) zweier Vektoren ergibt einen Skalar:
Beispiel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} =$ Skalar

$2)$ Betrag eines Vektors: Mithilfe des Sp ist es möglich, den Betrag eines Vektors zu berechnen, da folgendes gilt: Das SP eines Vektors mit sich selbst, ist das Quadrat seines Betrags:
Beispiel: $\vec{a} \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) = a_{x} \cdot a_{x} + a_{y} \cdot a_{y} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$

$3)$ Zerlegung von Vektoren: Mithilfe des Sp lässt sich ein Vektor in seine x-Komponente und in seine y-Komponente zerlegen, indem man das SP des vektors mit dem entsprechenden Einheitsvektor bildet: $\vec{e_{x}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{e_{y}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$
Beispiel: $\vec{a} \cdot \vec{e_{x}} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = a_{x} \cdot 1 + a_{y} \cdot 0 = a_{x}$ und $\vec{a} \cdot \vec{e_{y}} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = a_{x} \cdot 0 + a_{y} \cdot 1 = a_{y}$

$4)$ Projektion eines Vektors auf einen anderen: Mithilfe des SP lässt sich ein Vektor auf einen anderen projizieren:

Zeichnung(siehe unten)

Setzt man die Definition von Winkeln und Kosinus und Sinus voraus, gilt: $a_{x} = | \vec{a} | \cdot cos (α)$ wobei $α$ der Winkel zur x-Achse bzw. $\vec{e_{x}}$ ist.

Gemäß Zeichnung geht der Vektor $\vec{b_{a}}$ aus dem Vektor $\vec{a}$ hervor, indem man diesen normiert $\to \vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ und diesen Einheitsvektor mit $| \vec{b} | \cdot cos (φ)$ multipliziert, wobei $φ$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

$\Rightarrow \vec{b_{a}} = \vec{a_{0}} \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ),$ dabei hat $\vec{b_{a}}$ die Richtung von $\vec{a}$ für $φ <$ 90° und die Richtung von $- \vec{a}$ für $φ >$ 90°.

$5)$ Kosinussatz: Das Sp führt zum Kosinussatz.

Wie sich gezeigt hat, bezieht sich der Kosinus auf die x-Komponente eines Vektors und seinen Betrag, so dass gilt: $cos (φ) = \frac{x}{r}$ mit $φ$ Winkel zwischen Vektor und x-Achse und $r$ Betrag des Vektors. Ensprechend bezieht sich der Sinus auf die y-Komponente eines Vektors und seinen Betrag, also: $sin (φ) = \frac{y}{r}$

In Polarkoordinatenschreibweise ergibt sich also für die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b} :$

$\vec{a} = | \vec{a} | \cdot (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \end{matrix})$ und $\vec{b} = | \vec{b} | \cdot (\begin{matrix} cos (β) \\ sin (β) \end{matrix})$ mit $α, β$ Winkel zur x-Achse.

Bildet man das SP ergibt sich gemäß der Definition:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (| \vec{a} \cdot cos (α) \cdot | \vec{b} | \cdot cos (β)) + (| \vec{a} | \cdot sin (α) \cdot | \vec{b} | \cdot sin (β))$

nach ausklammern der Beträge:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot (cos (α) \cdot cos (β) + sin (α) \cdot sin (β))$

Gemäß der Additionstheoreme lässt sich der Ausdruck vereinfachen:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$ mit $(φ) = (α - β)$

Man bildet ein Dreieck mit den Kanten $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{a - b}$

Der Betrag von $\vec{a - b}$ ergibt sich gemäß Punkt $2) :$
${| \vec{a - b} |}^{2} = (\vec{a - b}) \cdot (\vec{a - b})$

Ausmultipliziert mit binomischer Formel ergibt:
${| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2}$

$\Leftrightarrow {| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ) + {| \vec{b} |}^{2}$

$6)$ Satz des Phytagoras: Der Satz des Pythagoras ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes.Bildet man das Sp zweier senkrechter Vektoren, ist das Sp gleich Null. Gemäß der Definition des Kosinus, der bei $90$ Grad Null ist.
${| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (90) + {| \vec{b} |}^{2}$

$\Rightarrow {| \vec{a - b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2}$

und $\vec{a - b}$ wird zur Hypothenuse.

Der Korrekturterm $- 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (90)$ wird in diesem Fall Null und entfällt.

$7)$ Winkel zwischen Vektoren: Mithilfe des SP lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen:

Den Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man nach umstellen der Formel:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (φ)$

$\Rightarrow cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b |}} \Rightarrow φ = {cos}^{- 1} (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b |}})$

Bitte nochmal um Korrektur;-)

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23:15 Uhr, 17.09.2016

Hallo
zu 1: das Skalarprodukt ist in der euklidischen metrik definiert als $...$ . dann deine Gleichung-
zu 2 Auch den Betrag eines Vektors ${| \vec{a} |}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$ wird so definiert. anschaulich ist das Die Länge des Vektors nach Pythagoras. (aber auf der uni wirst du lernen dass es auch andere skalarprodukte gibt und dadurch bestimmte Beträge.)
zu 3.
die Schreibweise eines $2 d$ Vektors als Zahlenpaar $\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ ist bei gegebener Basis, die auf der Schule immer nur vec ${$ ex)} und $\vec{e_{y}}$ sind bedeutet einfach $v = a \cdot \vec{e_{x}} + b \cdot \vec{e_{y}}$ damit kann man $\vec{e_{x}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ schreiben entsprechend $\vec{e_{y}}$
Damit stimmt zwar dann auch des Skalarprodukt $\vec{v} \cdot \vec{e_{x}} = a$ aber nicht umgekehrt. Auch den Betrag eines Vektors ${| \vec{a} |}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$ wird so definiert. anschaulich ist das Die Länge des Vektors nach Pythagoras. aber auf der uni wirst du lernen dass es auch andere Skalarprodukte gibt und dadurch bestimmte Beträge.
4. senkrecht projizieren !
5."Wie sich gezeigt hat, bezieht sich der Kosinus auf die x-Komponente eines Vektors und seinen Betrag, " ist sehr schlecht, denn du benutzt ja vorher die Def von $cos$ durch GegenKathete zu Ankathete
schonw $e \cap$ du $a_{x} = a \cdot cos (α)$ benutzt

du kannst den $cos$ und sin so definieren, dann müsste aber dein skript ganz anders aufgebaut sein (versuch das nicht!) aber nicht
Das mit dem Pythagoras ließe ich weg, da du ihn ja indirekt bei der Def. des Betrages benutzt hast
wenn dann würde ich sagen dass der $cos$ satz eine Art Erweiterung des Pythagoras für Winkel ungleich $90 \cdot$ ist. wobei man sieht, dass das zusätzliche Glied für Winkel $< 90 \cdot$ die ehemalige Hypothenuse verkleinert, für Winkel über 90° vergrößert bei gleichem $a, b$

Gruß ledum

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