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Spurpunkte zu Koordinatenform - Herleitung

Schüler Gymnasium,

Tags: Herleitung, Koordinatenform, Spurpunkt

FeederLP aktiv_icon

14:39 Uhr, 22.04.2018

Hey,

gegeben seien die Spurpunkte

P_{0} (0 | 0 | z_{0}), P_{1} (0 | y_{0} | 0)

und

P_{2} (x_{0} | 0 | 0)

die die Ebene

e

bilden.
Wie beweist man das gilt:

e : \frac{x}{x_{0}} + \frac{y}{y_{0}} + \frac{z}{z_{0}} = 1

Mir ist bewusst das im

R^{2}

gilt:

n \cdot y + x_{0} \cdot x = 1

Ich empfinde jedoch beides als relativ unintuitiv...

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Ebenen in Parameterform

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Roman-22

15:19 Uhr, 22.04.2018

>

Wie beweist man das gilt:

>

e:xx0+yy0+zz0=1

Wenns bloß darum geht zu zeigen, dass diese vorgegebene Gleichung die Gleichung der Ebene durch die drei gegebenen Spurpunkte ist, dann musst du doch bloß zeigen, dass jeder der drei Punkte die Ebenengleichung erfüllt. Also alle drei einsetzen und schauen, ob jedes Mal eine wahre Aussage rauskommt.
Ist eine triviale Kopfrechnung.

FeederLP aktiv_icon

15:47 Uhr, 22.04.2018

Verstehe ich nicht...
Diese Aussage ist für alle Spurpunkte wahr...

Ich will beweisen das die Ebene die die 3 Punkte aufspannen identisch der oberen ist.

Roman-22

16:59 Uhr, 22.04.2018

>

Verstehe ich nicht...
Was genau verstehst du nicht?

>

Diese Aussage ist für alle Spurpunkte wahr...
Welche Aussage? Was willst du uns damit sagen?

>

Ich will beweisen das die Ebene die die 3 Punkte aufspannen identisch der oberen ist.
Ja, genau. Und dazu reicht es, zu zeigen, dass die Koordinaten der drei Punkte jeweils die Ebenengleichung erfüllen - fertig. Man muss die Gleichung der Ebene dazu ja nicht herleiten - es geht dir doch nur darum, zu zeigen, dass die gegebene Gleichung wirklich die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte ist.
EDIT: Dass aber selbst die Herleitung der Ebenengleichung nicht all zu schwer und aufwändig ist, wird dir rundblick gleich zeigen.

rundblick aktiv_icon

17:01 Uhr, 22.04.2018

.
vermutlich geht es dir umgekehrt ja darum,
einen Weg zu finden, der zu der genannten Gleichung hinführt ..
(also die genannte Form der Gleichung herzuleiten)?

also:
nimm doch die drei Punkte

P_{0}, P_{1}, P_{2}

und ermittle für die eine Koordinatengleichung :

\Rightarrow

Normalenvektor

\vec{n} = \vec{P_{0} P_{1}} x \vec{P_{0} P_{2}} = (\begin{matrix} y_{0} z_{0} \\ x_{0} z_{0} \\ x_{0} y_{0} \end{matrix})

\to e : \to y_{0} z_{0} \cdot x + x_{0} z_{0} \cdot y + x_{0} y_{0} \cdot z - d = 0

,,

d

zu bekommen setze einen der drei Punkte ein zB

: P_{2} \Rightarrow

0 + 0 + x_{0} y_{0} z_{0} - d = 0 \Rightarrow d = x_{0} y_{0} z_{0}

und damit :

\to e : \to y_{0} z_{0} \cdot x + x_{0} z_{0} \cdot y + x_{0} y_{0} \cdot z = x_{0} y_{0} z_{0}

siehst du, was du nun noch machen müsstest, um deine gewünschte Gleichung zu erhalten ?

\to .

.

.

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