Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trigonometrie, Dreieck auf n-Eck beziehen.

Trigonometrie, Dreieck auf n-Eck beziehen.

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Dreieck, n-Eck, Trigonometrie

Broetchen93 aktiv_icon

13:15 Uhr, 08.10.2015

Hi, ich habe eine trigonometrische Aufgabe bekommen.
Zum Teil habe ich diese auch bereits gelöst, allerdings habe ich noch fragen dazu.

Im Anhang findet ihr ein Bild.

Die erste Aufgabe bestand darin, die Flächenformel für das Dreieck MAB nachzuweisen.
Gegeben war die Formel

A = sin (\frac{α}{2}) \cdot cos (\frac{α}{2}) \cdot R^{2}

Habe das Dreieck in 2 rechtwinklige geteilt durch den Winkel Alpha (halbiert), und dann für das halbe Dreieck die Formal

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

aufgestellt. Für

g

habe ich dann

g = R \cdot cos (\frac{α}{2})

und für

h = R \cdot sin (\frac{α}{2})

. Das eingesetzt und am Ende

\cdot 2,

dann kam auch eben diese Formel heraus.

2. Aufgabe: Berechnen Sie die Fläche eines regulären

72 -

Ecks in Abhängigkeit von R.
Okay, habs mir mit nem regulären 5-Eck verdeutlicht, dass es 5 Flächen hat. Werden dann bei dem 72-Eck auch

72

Flächen sein. Also die Formel mal

72

. Aber was bedeutet denn in Abhängigkeit von R?

R

ist doch eh schon variabel.

3. Aufgabe: Welche Zahl erhalte ich, wenn ich die Anzahl

n

der Ecken gegen unendlich laufen lasse?
Komische Frage, ist doch abhängig vom Radius R?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ginso aktiv_icon

13:29 Uhr, 08.10.2015

In Abhängigkeit von R bedeutet dass du eine Formel aufstellen sollt, die zu jedem R den Flächeninhalt berechnet. D.h. in der Formel sollte R die einzige Variable sein.
Du hast recht, ein 72-Eck kann man in 72 gleichschenklige Dreiecke Auffassen(wie das in der Abbildung) wobei alle denselben Winkel

α = \frac{2 π}{72}

bzw im Gradmaß

\frac{360}{72}

haben. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir für jedes Dreieck die Fläche

\sin (\frac{π}{72}) \cdot \cos (\frac{π}{72}) \cdot R^{2}

Und für das 72-eck natürlich das 72-fache. Also gilt allgemein für ein regelmäßiges

n

-Eck:

A = n \sin (\frac{π}{n}) \cdot \cos (\frac{π}{n}) \cdot R^{2}

Broetchen93 aktiv_icon

13:43 Uhr, 08.10.2015

Ach super, jetzt verstehe ich was gemeint ist.
Habs jetzt auch so durchgerechnet, war eigentlich recht einfach

Vielen Dank für deine gute und verständliche Hilfe, Ginso!

Ginso aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.10.2015

Zu c)
Natürlich geht

\frac{π}{n}

und damit auch

\sin (\frac{π}{n})

gegen 0 für

$ n \to \infty

schauen wir uns aber mal an, wie:
Es ist bekannt, dass wenn man

x

gegen 0 laufen lässt sinus(x) sich der linearen Funktion f(x)=x annähert.
Wenn

n

gegen

\infty

geht, dann geht offensichtlich

\frac{π}{n}

gegen 0.
Also geht

\sin (\frac{π}{n})

gegen

\frac{π}{n}

und damit geht

n \cdot \sin (\frac{π}{n})

gegen

n \frac{π}{n} = π

\cos (\frac{π}{n})

gegen

\cos (0) = 1

geht, geht die obige Formel

n \sin (\frac{π}{n}) \cos (\frac{π}{n}) R^{2}

gegen

π R^{2}

, was Sinn macht, da sich die Figur gegen einen Kreis mit Radius

R

geht

Broetchen93 aktiv_icon

18:22 Uhr, 08.10.2015

Über deine letzte Antwort grüble ich gerade nach.
Erst schreibst du, dass

sin (\frac{π}{n})

gegen 0 geht, so weit so gut,
Jetzt schreibst du unten aber, dass es gegen

\frac{π}{n}

gehe, aber das stimmt doch gar nicht für

n \to

unendlich

Ginso aktiv_icon

22:59 Uhr, 08.10.2015

sowohl

\sin (\frac{π}{n})

also auch

\frac{π}{n}

gehen gegen 0, wenn

n \to \infty

Mit der Aussage dass sin(x) gegen x geht (für

x \to 0

) meine ich dass wenn man

x

gegen 0 laufen lässt, so werden die Werte von sin(x) und x immer ähnlicher, folglich geht für

x \to 0

die Funktion

\frac{\sin (x)}{x}

gegen 1.
wenn

n \to \infty

dann gilt

\frac{π}{n} \to 0

und folglich

\frac{\sin (\frac{π}{n})}{\frac{π}{n}} \to 1

. Also geht

π \cdot \frac{\sin (\frac{π}{n})}{\frac{π}{n}}

gegen

π

. Dies ist aber gerade

π \cdot \sin (\frac{π}{n}) \cdot \frac{n}{π} = n \cdot \sin (\frac{π}{n})

Broetchen93 aktiv_icon

23:17 Uhr, 08.10.2015

Okay, das verstehe ich nicht mal im Ansatz
Ich habe doch bloß diese Formel

A = n \cdot sin (\frac{π}{n}) \cdot cos (\frac{π}{n}) \cdot R^{2}

Und wenn

n

gegen unendlich läuft, hab ich ∞

\cdot 0 \cdot 0 \cdot R^{2}

und dementsprechend 0.

Ginso aktiv_icon

23:42 Uhr, 08.10.2015

Zuerst mal, der cos geht gegen 1, da

\cos (0) = 1

. Nun zu der eigentlichen Frage:

Das problem ist dass

\infty \cdot 0

nicht definiert ist, da muss man schon genauer hinschauen, z.b für

n \to \infty

gilt ja

\frac{1}{n} \to 0

, aber

n \cdot \frac{1}{n}

ist immer 1 und geht folglich auch gegen 1.
weiterhin würde auch

n^{2}

gegen

\infty

gehen, und

n^{2} \cdot \frac{1}{n} = n

geht folglich ebenfalls gegen

\infty

, während

n \cdot \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} \to 0

, wir haben also 3 Produkte wo jeweils ein faktor gegen

\infty

und einer gegen 0 geht, trotzdem hat das Produkt immer einen anderen limes.

Wenn du dir den Sinus auf einem sehr sehr kleinen Intervall um die 0 anschaust dann ist er fast nicht zu unterscheiden von

f (x) = x

.
Deswegen sagt man, dass man den Sinus nahe bei der 0 (also wenn sein Argument gegen 0 geht) als lineare Funktion betrachten kann.
Vergleich doch einfach mal ein für ein paar große

n

die Ergebnisse von

\frac{π}{n}

und

\sin (\frac{π}{n})

. Du wirst feststellen, dass die sich immer ähnlicher werden.
Wenn also

\sin (\frac{π}{n})

immer ähnlicher wie

\frac{π}{n}

wird, dann wird

n \sin (\frac{π}{n})

immer ähnlicher wie

π

, auch das kannst du mal ausprobieren indem du diesen term für immer größer werdende

n

ausprobierst.

Merke also:
1. Wenn du also in einem Produkt faktoren hast die gegen 0 gehen und welche die gegen

\infty

gehen, musst du genauer hinschauen wie sich das produkt dieser Faktoren verhält.

2. Wenn bei einer sinusfunktion das Argument(also das was in den Klammer von dem Sinus steht) gegen 0 geht, dann kannst du zur Berechnung des grenzwertes das Sinus weglassen und nur das Argument stehen lassen.

Broetchen93 aktiv_icon

23:51 Uhr, 08.10.2015

Achso, das mit dem Sinus weglassen habe ich einfach nicht verstanden. Deswegen habe ich mich gefragt, wo du den Term ohne Sinus her hast.

Ich blicke jetzt durch und kann deinen Gedankengang nachvollziehen.

Danke, dass du die Geduld für mich aufgebracht hast, mir den Sachverhalt zu erklären. Schönen Abend noch!

1257940

1257834

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?