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Überprüfen ob 3 Punkte auf einer Gerade liegen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Gerade aus zwei Punkten

Tags: 3 Punkte auf Gerade, drei Punkte, Gerade, Punkt

Midnight-Lady aktiv_icon

19:03 Uhr, 14.03.2009

Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, ob die Punkte

P 1, P 2

und

P 3

jeweils auf einer Geraden liegen:

P 1 ((- \frac{1}{3}) \sqrt{12}; 3), P 2 (\sqrt{3}; 8); P 3 (- 2 \sqrt{3}; - 1)

Ich hätte es folgendermaßen gelöst:

Vektor(x)=

((- \frac{1}{3}) \sqrt{12}; 3) + t \cdot ((5 \frac{\sqrt{3}}{3}); 5)

- 2 \sqrt{3} = ((- \frac{1}{3}) \sqrt{12}) + t \cdot (5 \frac{\sqrt{3}}{3}) \Rightarrow t = - \frac{4}{5}

II.-1=3

+ t \cdot (5) \Rightarrow t = - \frac{4}{5}

liegt also auf einer Geraden. Dann setze ich dieses

t = - \frac{4}{5}

in die Gleichung y=mx+t ein:
und

P 3

für

x

und

y :

- 1 = m \cdot (- 2 \sqrt{3}) - \frac{4}{5} \Rightarrow m = \frac{\sqrt{3}}{30}

das wäre also mein Ergebnis.

Richtiges Lösungsergebnis wäre aber: Sie liegen auf der Gerade:

y = \sqrt{3} x + 5

Kann mir vllt. jemand helfen? Wäre lieb.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sekante

19:33 Uhr, 14.03.2009

Also da viele Wurzeln und Klammern ein nachvollziehen deiner Rechnung erschweren ist vll. ein allgemeiner Lösungsweg am einfachsten.

Aus

P 1

und

P 2

erstellst du eine Gerade:

P 1

als Aufpunktvektor und die

P 2 - P 1

als Richtungsvektor und du erhältst die Gerade, sagen wir

g

.

Dann nur noch eine Punktprobe machen, ob

P 3

auf dieser Geraden liegt, also
P3-Aufpunkt von

g

und sehen, ob das Ergebnis und der Richtungsvektor von

g

kollinear sind.

Ich hoffe das hilft dir.

Gruß
Sekante

marlon aktiv_icon

19:42 Uhr, 14.03.2009

Meiner Meinung nach vermischst du hier

2 D

und

3 D,

bzw. die vektorielle Geradendarstellung mit der für lineare Funktionen im Zweidimensionalen.

Versuchs mal von vornerein mit der Gleichung

y =

+ b

Rechne für zwei Punkte

(P_{1}

und

P_{2} z . b .) m

und

b

aus.
Dann setzt du die Koordinaten von

P_{3}

für

x

und

y

ein.

Sekante

19:46 Uhr, 14.03.2009

Man kann aus 2 Punkten, egal ob

2 D

oder

3 D

einen Vektor bilden.
Auch kann man von der Koordinatenform in die parameterform wechseln. Für das Lösen der Aufgabe ist beides möglich, aber mit Vektoren ist es denke ich einfacher.

Mit der Vektorenvariante brauchst du nur 2 Schritte.

1)

Gerade aus

P 1

und

P 2

bilden und

2)

Punktprobe mit

P 3

Fertig!

Gruß
Sekante

Midnight-Lady aktiv_icon

20:14 Uhr, 14.03.2009

die Geradengleichung und die Punktprobe habe ich versucht (siehe oben), habe aber ein anderes Ergebnis rausbekommen als es sein sollte

marlon aktiv_icon

20:33 Uhr, 14.03.2009

P 1 ((- \frac{1}{3} \sqrt{12}; 3)

bzw. mit

\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{3} :

P 1 ((- \frac{2}{3} \sqrt{3}; 3)

P 2 (\sqrt{3}; 8)

P 3 (- 2 \sqrt{3}; - 1)

y =

+ b

I. (mit

P 1)

3 = m \cdot ((- \frac{2}{3} \sqrt{3}) + b

II. (mit

P 2)

8 = m \cdot (\sqrt{3}) + b

I - II:

- 5 = m \cdot ((- \frac{2}{3} \sqrt{3} - \sqrt{3})

- 5 = m \cdot (- \frac{5}{3} \sqrt{3})

m = - \frac{5}{- \frac{5}{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}

b

wäre dann

(m

in II eingesetzt):

8 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + b

b = 5

P 3

eingesetzt:

- 1 = \sqrt{3} \cdot - 2 \sqrt{3} + 5

- 6 = - 6

\to P 3

liegt auf der Gerade mit der Gleichung

y = \sqrt{3} \cdot x + 5

pleindespoir aktiv_icon

20:36 Uhr, 14.03.2009

Deinen Lösungsansatz kann ich nicht nachvollziehen.

Im Grunde geht es darum, ob die drei Punkte (die auch Vektoren sein könnten) kollinear sind.

Dazu gibt es zwei Testmethoden:

Die eine davon ist recht einsichtig und lautet:

\vec{a} + x \vec{b} = y \vec{c}

Gäbe es irgendein x|y Paar, bei dem die Gleichung erfüllt wäre, wären die Vektoren kollinear.

Setze mal ein und Du wirst sehen ...

Die zweite Testmethode ist die Berechnung der Determinante.

Midnight-Lady aktiv_icon

20:55 Uhr, 14.03.2009

Also nochmal kurz und übersichtlich welche Schritte ich gemacht habe (ausführlich

s . ⊙) :

1 .)

Habe die Punkte

P 1

und

P 2

in Folgende Gleichung eingesetzt:

x = P 1 + t \cdot (P 2 - P 1)

2 .)

Dann habe ich für

x

den Wert

P 3

eingesetzt (siehe I. und II.)

3 .)

Dann habe ich eine Gleichung als Lösung rausbekommen, auf der die drei Punkte liegen:

y = \frac{\sqrt{3}}{30} x - \frac{4}{5}

4 .)

Mein Ergebnis war falsch, denn das richtige Ergebnis der Gleichung lautet:

y = 3 x + 5, d . h

. es muss kollinear sein.

marlon aktiv_icon

20:58 Uhr, 14.03.2009

1. Hier wird mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Die Fragestellung ist doch ganz klar: Es sind drei Punkte gegeben und gefragt, ob diese auf einer Geraden liegen. Dazu stelle ich mit zwei der drei Punkten eine Geradengleichung auf und teste, ob der dritte Punkte auf dieser Geraden liegt.

Da es sich hierbei um Punkte im

ℝ_{2}

handelt, ist es meiner Meinung nach vollig unnötig Wissen der algebraischen Geometrie anzuwenden - auch wenn dies selbstverständlich zur richtigen Lösung führen würde.

2. @pleindespoir: Irgendwas kann an deiner Argumentation nicht stimmen. Gegenbeispiel

P_{1} (0; 1)

P_{2} (1; 0)

P_{3} (5; 5)

Diese drei Punkte liegen mit Sicherheit nicht auf einer Geraden, erfüllen aber trotzdem die vorgeschlagene Gleichung:

0 + x \cdot 1 = y \cdot 5

1 + x \cdot 0 = y \cdot 5

mit

x = 1

und

y = \frac{1}{5}

Ich glaube mit der vorgeschlagenen Gleichung kann überprüft werden, ob drei Vektoren komplanar sind. In

ℝ_{2}

sind sie dies aber immer.

Sekante

21:04 Uhr, 14.03.2009

Also warum nicht die einfache 2-Schritt Vektoranalyse:

P 1

als Aufpunkt

P 2 - P 1

als Richtungsvektor

(ich schreib Vektoren jetzt mal, als wären es punkte)

v : (0 | 1) + r \cdot (1 | - 1)

Punktprobe mit

P 3

r \cdot (1 | - 1) = (5 - 0 | 5 - 1) = (5 | 4)

Es findet sich kein

r,

das aus

(1 | - 1)

ein

(5 | 4)

macht.
Fertig in 2 Schritten

marlon aktiv_icon

21:17 Uhr, 14.03.2009

Vollkommen korrekt.
Ich habe ja auch nie bestritten, dass dies nicht funktionieren würde ;-)

Nehmen wir nicht das von mir vorgeschlagene Beispiel (das ja nur als Gegenbeispiel zu pleindespoir Argumentation gedacht war), sondern die Ausgangspunkte:

P 1 ((- \frac{2}{3} \sqrt{3}; 3)

P 2 (\sqrt{3}; 8)

P 3 (- 2 \sqrt{3}; - 1)

P 2

als Aufpunkt

P 1 - P 2

als Richtungsvektor

(ich schreib Vektoren jetzt mal, als wären es punkte)

v : (\sqrt{3} | 8) + r \cdot ((- \frac{2}{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} | 3 - 8)

v : (\sqrt{3} | 8) + r \cdot ((- \frac{5}{3} \sqrt{3} | - 5)

Punktprobe mit

P 3

(- 2 \sqrt{3} | - 1) = (\sqrt{3} | 8) + r \cdot ((- \frac{5}{3} \sqrt{3} | - 5)

Aus der unteren Zeile folgt

r = \frac{9}{5}

und damit

- 2 \sqrt{3} = \sqrt{3} + r \cdot (- \frac{5}{3} \sqrt{3})

- 2 \sqrt{3} = \sqrt{3} + (\frac{9}{5}) \cdot (- \frac{5}{3} \sqrt{3})

- 2 \sqrt{3} = \sqrt{3} + (- \frac{9}{3} \sqrt{3})

- 2 \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})

- 2 \sqrt{3} = - 2 \sqrt{3}

Also liegt

P 3

auf der Geraden.

Habe mittlerweile auch mein Rechenfehler in der oberen Rechnung gefunden und entsprechend verbessert. Kommt also beides mal raus, dass die Punkte auf einer Geraden liegen. :-)

Sekante

21:26 Uhr, 14.03.2009

Wir enden also mit einem Konsens, gibt es schöneres?;-)

Midnight-Lady aktiv_icon

16:13 Uhr, 15.03.2009

Also so ganz gelöst haben wir das Problem aber leider noch nicht. Denn was bei mir

t

ist, das ist zwar bei euch in der Rechnung

r,

aber ihr habt da einen anderen Wert als ich und wir beide haben einen anderen Wert als in der Lösung, denn

t = - \frac{4}{5} (

in meiner Rechnung)

r = \frac{9}{5} (

in eurer Lösung)

und

t = 5 (

in der Musterlösung)

Könnte bitte mal jemand so lieb sein und die Aufgabe nachrechnen?

pleindespoir aktiv_icon

23:20 Uhr, 15.03.2009

2. @pleindespoir: Irgendwas kann an deiner Argumentation nicht stimmen. Gegenbeispiel
(...)
Ich glaube mit der vorgeschlagenen Gleichung kann überprüft werden, ob drei Vektoren komplanar sind. In ℝ2 sind sie dies aber immer.

Danke für den Hinweis, tut mir leid, dass ich Unsinn erzählt habe. *aschenkübelübershauptschütt*

ZITAT:
Also so ganz gelöst haben wir das Problem aber leider noch nicht. Denn was bei mir t ist, das ist zwar bei euch in der Rechnung r, aber ihr habt da einen anderen Wert als ich und wir beide haben einen anderen Wert als in der Lösung, denn

t=-45( in meiner Rechnung) r=95( in eurer Lösung) t=5( in der Musterlösung)
Antwortversuch:
Vielleicht liegt es daran, mit welchen Vektor man anfängt und in welche Richtung der nächste Vektor zeigt.

\vec{a} + μ (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{c}

\vec{a} + μ (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{c}

\vec{a} + μ (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{b}

\vec{a} + μ (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b}

\vec{b} + μ (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{c}

\vec{b} + μ (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{c}

\vec{b} + μ (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a}

\vec{b} + μ (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a}

\vec{c} + μ (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{b}

\vec{c} + μ (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b}

\vec{c} + μ (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a}

\vec{c} + μ (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a}

Alle 12 obigen Gleichungen beweisen, dass die Vektoren

\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}

auf einer Geraden liegen. Nur der Faktor

μ

wird in jeder Gleichung ein anderer sein. Trotzdem sind alle Gleichungen richtig. (falls die 3 Punkte wirklich auf einer Geraden liegen)

Du kannst ja mal zum Spass alle 12 Möglichkeiten durchrechnen und kontrollieren, ob's stimmt!

MBler07 aktiv_icon

23:45 Uhr, 15.03.2009

Hi

ohne jetzt alles genau gelesen zu haben, hier der Weg zur Musterlösung:

Allg. Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte

P_{1} (x_{1} | y_{1})

und

P_{2} (x_{2} | y_{2}) :

y = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} (x - x_{1}) + y_{1}

- \frac{1}{2} \sqrt{12} = - \frac{2}{3} \sqrt{3}

Da ich solche Brüche nicht mag, setz ich

P 2

und

P 3

ein:

y = \frac{8 - (- 1)}{\sqrt{3} - (- 2 \sqrt{3})} (x - \sqrt{3}) + 8

y = \frac{9}{3 \sqrt{3}} (x - \sqrt{3}) + 8

y = \sqrt{3} (x - \sqrt{3}) + 8

y = \sqrt{3} x - 3 + 8

y = \sqrt{3} x + 5

Wie in der Musterlösung. Was allerdings nicht heißt, dass das vektoriell nicht anders aussehen kann.

M . M . n

ist das der einfachste Weg. Auch wenn er aufgrund der Ausführlichkeit recht aufwendig wirkt.

Übrigens glaube ich auch, dass du hier einiges zusammenwirfst. Du solltest dir (noch)mal die Bedeutung der einzelnen Summanden einer "normalen" Geradengleichung und der in vektorieller Form klarmachen.

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