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Umformung einer Summen-Formel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Formel, Sonstig, Summe, umformung

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20:04 Uhr, 08.09.2016

Hallo zusammen,

ich habe folgende Formel für

n > 1,

dabei geht die Summe immer von

k = 0

bis

{log}_{3} (n - 1)

. Für

n = 1

gilt 1:

3^{{log}_{3} n} \cdot T (\frac{n}{3^{{log}_{3} n}}) + \sum (\sqrt{3^{k}} \cdot \sqrt{n})

= n \cdot T (1) + \sum (\sqrt{3^{k}} \cdot \sqrt{n})

= n + \sum (\sqrt{3^{k}} \cdot \sqrt{n})

Ab hier fange ich an Probleme bei der Umformung zu bekommen. Ich weiss nicht wie man auf den Bruch unten anstelle der Summe kommt. Die Summe wurde selbst zuvor durch die Einsetzmethode in

T (n) = 3 \cdot T (\frac{n}{3}) + \sqrt{n}

hergeleitet

= n + \frac{{\sqrt{3}}^{{log}_{3} n} - 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{n}

= n + \frac{\sqrt{n} - 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{n}

= n + \frac{n - \sqrt{n}}{\sqrt{3} - 1}

= \frac{\sqrt{3} n - \sqrt{n}}{\sqrt{3} - 1}

Für hilfreiche Tipps wäre ich wirlich dankbar.

Grüße,

Infostudi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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Roman-22

21:19 Uhr, 08.09.2016

Beachte, dass

\sqrt{3^{k}} = 3^{\frac{k}{2}} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{k} = {(\sqrt{3})}^{k}

und auch, dass

\sqrt{n}

in deiner Summe ein konstanter Faktor ist, der ausgeklammert, also vor die Summe werden kann.
Somit ist deine Summe eine endliche geometrische Reihe und dafür gibt es eine Summenformel, die hier einfach angewandt wurde.

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22:56 Uhr, 09.09.2016

Hallo Roman-22,

vielen Dank für deine Antwort. Ich habe die Summenformel zur geometrischen Reihe nachgeschlagen. Ich habe allerdings nur folgende Formel dazu gefunden:
für

k = 0

bis

n \sum (z^{k}) = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}

Mir ist klar, dass man

- 1

rausziehen könnte bzw. damit multiplizieren könnte um die Vorzeichen des Bruches umzukehren. Aber das ist nicht in der Berechnung gemacht worden. Meine Frage jetzt dazu ist, gibt es für endliche geometrischen Reihen eine Sonderform der Summenformel? Ich habe über Google nur die eine Summenformel zu dem Thema gefunden.

Mit Hilfe der Summenformel zu geometrischen Reihen habe ich nun durch Einsetzen von

z = \sqrt{3}

folgenden Zwischenstand:

= n + \sum (\sqrt{3^{k}} \cdot \sqrt{n})

= n + \sqrt{n} \cdot \sum (\sqrt{3^{k}})

= n + \frac{1 - {\sqrt{3}}^{{log}_{3} \cdot n - 1 + 1}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{n}

= n + \frac{1 - {\sqrt{3}}^{{log}_{3} \cdot n}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{n}

Hier hänge ich nun wieder. Ich erkenne die Ähnlichkeit zwischen dem Zwischenergebnis, wie es sein müsste und dem, was ich hier nun nach Anwendung der Formel für die geometrische Reihe habe. Aber da nicht mit

- 1

multipliziert wurde, erschließt es sich mir nicht, wie man auf das gewünschte Zwischenergebnis kommen konnte.

Für eure Hilfe bin ich euch sehr dankbar und der Tipp mit der geometrischen Reihe war auch ein Hinweis auf den ich selbst nicht gekommen wäre. Vielen Dank dafür!

Grüße,

InfoStudi

Roman-22

23:50 Uhr, 09.09.2016

Bedenke, dass

\frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} = \frac{z^{n + 1} - 1}{z - 1}

Außerdem scheinst du die obere Grenze in deinem ursprünglichen Post falsch angegeben zu haben. Es sollte wohl nicht

{log}_{3} (n - 1)

sein, sondern vielmehr

{log}_{3} (n) - 1

. Dann stellt sich auch das gewünschte Ergebnis ein.

Beachte auch, dass

{(\sqrt{3})}^{{log}_{3} (n)} = \sqrt{n}

R

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10:10 Uhr, 10.09.2016

Hallo Roman-22,

ja, bei der oberen Grenze habe ich eine falsche Angabe gemacht. Das habe ich jetzt erst gesehen. Wieso darf man die Formel der Reihe so anders schreiben? Woran erkennt man wann man

\frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}

schreibt oder

\frac{z^{n + 1} - 1}{z - 1}

? Würde man die erste Formel nehmen, dann würde man auf ein anderes Ergebnis kommen als das, wie es gefordert ist. Ist das Ergebnis dann trotzdem noch als richtig zu bewerten?

Grüße und vielen Dank,

InfoStudi

Roman-22

10:36 Uhr, 10.09.2016

>

Wieso darf man die Formel der Reihe so anders schreiben?
Weil die Schreibweisen gleichwertig sind. Du änderst alle Vorzeichen im Zähler und auch alle Vorzeichen im Nenner (und ordnest dann ein wenig um). Du kannst das so sehen, dass der Bruch mit

(- 1)

erweitert wird. Das ändert nichts am Wert des Bruchs. Kannst es dir ja mit Zahlen verdeutlichen:

\frac{7 - 4}{8 - 3} = \frac{4 - 7}{3 - 8}

.
Es ist ja

\frac{3}{5} = \frac{- 3}{- 5} (= + 0,6)

und genau das kannst du auch mit deiner Formel so machen. Sieht ein wenig anders aus, ist aber absolut gleichwertig.

>Ist das Ergebnis dann trotzdem noch als richtig zu bewerten?
Natürlich, aber hübscher ist es, wenn Zähler und Nenner positiv sind.

1 - \sqrt{3}

ist negativ und

\sqrt{3} - 1

ist positiv, also verwendet man diese Form lieber.

Nachdem man in der Matehmatik gerne irrationale Nenner vermeidet, könnte man auch noch weiter umformen, zB

\frac{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{3 n} - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{n} \cdot (\sqrt{3 n} - 1) \cdot (\sqrt{3} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3 n} - 1) \cdot (\sqrt{3 n} + \sqrt{n})

Je nachdem, wofür man den Ausdruck dann eben noch benötigt.

R

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10:56 Uhr, 11.09.2016

Hallo Roman-22,

vielen Dank für deine Mühe. Ich glaube, jetzt hab ich es verstanden. Danke!

Grüße,

InfoStudi

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