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Vektoren - Pyramide - Oberflächenberechnung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Dreieck, oberfläch, Pyramide

TestAccount1245 aktiv_icon

14:36 Uhr, 02.04.2012

Ich bin grad im Abi-Stress und komm' bei dieser einen Aufgabe einfach nicht weiter:

Das Dreieck ABC

[A (2,6,0) B (2, - 2,0) C (- 5, - 1, - 2)]

bildet die Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit der Höhe

h = 5

. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen dieser Pyramide?

Bitte im Hilfe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:40 Uhr, 02.04.2012

Für die Oberfläche musst du ja letztlich nur die Flächeninhalte von vier Dreiecken berechnen und dann aufaddieren. Mit dem Kreuzprodukt geht das ja ganz fix (Ist dir das Kreuzprodukt denn bekannt?). Und für das Volumen gilt

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

h = 5

direkt angegeben ist, muss hier also nur

G

ermittelt werden. Das ist aber wiederum nur der Flächeninhalt des Dreiecks

A B C

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14:51 Uhr, 02.04.2012

Kreuzprodukt ist mir jetzt nicht so geläufig. Kannst du mir bei einer Fläche bitte auf die Sprünge helfen?

Danke!

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14:59 Uhr, 02.04.2012

Da die Spitze erst noch ermittelt werden muss, sollten wir uns erstmal um den Flächeninhalt des Dreiecks

A B C

kümmern. Mit dem Kreuzprodukt könnte man ganz schnell berechnen:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ - 2 \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ - 56 \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3392} = 4 \sqrt{53}

Die Frage ist jetzt, ob ihr das benutzen dürft/ob dir das bekannt ist. Falls nein, wie berechnet ihr denn Dreiecksflächeninhalte?

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15:22 Uhr, 02.04.2012

Das Kreuzprodukt haben wir im Schnellverfahren durchgenommen und bis heute weiß ich nicht so recht wann man es anwendet.

Dreiecksflächen haben wir bisher in einem sehr aufwendigen Verfahren berechnet:
1. Längste Seite des Dreiecks berechnet
2. Gerade

g

gebildet
3. Abstand vom gegenüberliegenden Punktes bis zur Geraden

g

berechnet
4.

A =

(Seite

\cdot

dazugehörige Höhe)

/ 2

Und deine Flächenformel mit dem Kreuzprodukt kann man für jede beliebige Dreiecksfläche verwenden? Wenn ja, werde ich in Zukunft nur mehr diese Formel verwenden.

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15:32 Uhr, 02.04.2012

Ja das Kreuzprodukt kann man hierfür immer verwenden. Und es geht wesentlich schneller als erst die Höhe zu bestimmen, so wie ihr es macht. Du solltest deinen Lehrer aber erst fragen, ob du es in Zukunft benutzen darfst, um Flächeninhalte von Dreiecken zu bestimmen. Nicht dass es da Ärger gibt. Die gleiche Rechnung mit eurer Methode sieht so aus:

g_{A B} : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix})

Hilfsebene

H : [\vec{x} - (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix}) = 0

bzw.

H : x_{2} = - 1

g_{A B} \cap H : 6 - 8 t = - 1 \Leftrightarrow t = \frac{7}{8}

\vec{O L} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{7}{8} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

also

L (2 | - 1 | 0)

Nun

h = | \vec{C L} | = | (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{53}

Damit

A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot \sqrt{53} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix}) | \cdot \sqrt{53} = 4 \sqrt{53}

Welche Methode die "Bequemere" ist, sieht man nun hoffentlich.

PS: Euren ersten Schritt verstehe ich nicht. Man muss nicht unbedingt die längste Seite als Grundseite wählen (hat auch

i . A

. überhaupt keine Vorteile, sondern nur den Nachteil, dass man die längste Seite zunächst bestimmen muss)

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15:37 Uhr, 02.04.2012

Ich danke dir wirklich sehr für diesen Tipp! Hätte ja schon früher hier nachfragen können. Zur Berechnung unserer Beispiele dürfen wir alles verwenden, es sollte nur das richtige Ergebnis rauskommen :-)

Und kannst du mir jetzt bitte mit der Spitze auf die Sprünge helfen?

Wenn ich das dann richtig verstanden habe, wenn man die Spitze hat, kann man die drei Mantelflächen mit dem Kreuzprodukt berechnen, oder?

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15:47 Uhr, 02.04.2012

Zur letzten Frage: Ja
Um

S

zu ermitteln, braucht man einen Normalenvektor der Ebene, die die Punkte

A; B

und

C

enthält. Diesen erhältst du wiederum mit dem Kreuzprodukt über

\vec{A B} \times \vec{A C}

und das habe ich ja oben schon berechnet gehabt mit dem Ergebnis

(\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ - 56 \end{matrix})

. Nun soll der Normalenvektor aber den Betrag 1 haben, also teilt man ihn durch seine jetzige Länge. Dann erhält man

\vec{n_{0}} = \frac{1}{\sqrt{53}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix})

Um zu

S

zu gelangen musst du jetzt einfach fünf mal (wegen

h = 5)

den Vektor

\vec{n_{0}}

an den Schwerpunkt/Mittelpunkt des Dreiecks

A B C

hängen. (Dafür gibt es zwei Möglichkeiten, aber hier ist egal welche Spitze du nimmst).
PS: Das Volumen kannst du jetzt übrigens schon berechnen

V = \frac{1}{3} \cdot A_{A B C} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt{53} \cdot 5 = \frac{20}{3} \sqrt{53}

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15:56 Uhr, 02.04.2012

Jetzt steh' ich auf dem Schlauch. Was meinst du mit dazuhängen? Einfach zum Schwerpunkt dazuaddieren? Und was mach' ich mit dem Bruch?

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16:02 Uhr, 02.04.2012

\vec{m}

sei der Ortsvektor vom Mittelpunkt und

\vec{s}

der Ortsvektor der Pyramidenspitze. Dann gilt

\vec{s} = \vec{m} + 5 \vec{n_{0}}

oder auch

\vec{s_{2}} = \vec{m} - 5 \vec{n_{0}}

aber du kannst dich auf die erste Gleichung beschränken. Das mit der Wurzel im Nenner ist etwas blöd, aber das hast du dem Aufgabensteller zu verdanken (oder ich hab mich verrechnet).

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16:17 Uhr, 02.04.2012

Warum hast du den Normalenvektor durch eine Wurzel dividiert und nicht nur durch

53

? Und muss ich diesen Bruch bei den weiteren Berechnungen dazuzählen?

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16:19 Uhr, 02.04.2012

Weil die Wurzel eben im Betrag vorkommt. Und klar musst du die Wurzel in den weiteren Rechnungen nun mitschleppen. Ich bin jetzt erstmal offline, muss in die Stadt. Du kannst ja in der Zwischenzeit versuchen

S

zu ermitteln.

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19:20 Uhr, 02.04.2012

Ich schaff' es einfach nicht die richtige Spitze zu berechnen. All unsere Beispiele kann ich rechnen, nur diese Spitze treibt mich zum Wahnsinn.

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19:59 Uhr, 02.04.2012

Was erhältst du denn erstmal für den Mittelpunkt

M

von

A B C

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12:23 Uhr, 03.04.2012

Für den Mittelpunkt hab ich

M (- \frac{1}{3}, 1, - \frac{2}{3})

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12:45 Uhr, 03.04.2012

Soweit richtig. Dann gilt doch:

\vec{O S} = (\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) + \frac{5}{\sqrt{53}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix})

Das musst du zu Ende rechnen.

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13:51 Uhr, 03.04.2012

Für die Spitze hab' ich

S (1,04, 1, - 5,47)

rausbekommen. Dann hab ich die 4 Dreieckseiten berechnet, aber komm nicht auf die Lösung: Oberfläche

= 208,77

FE!!!!!

Was mach ich falsch?

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14:27 Uhr, 03.04.2012

Die Zahlen sind halt dumm gewählt. Ich habe keine Zeit, um das nun exakt zu rechnen daher nur mit Näherungswerten.

\vec{O S} = (\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) + \frac{5}{\sqrt{53}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 1,04 \\ 1 \\ - 5,47 \end{matrix})

also

S (1,04 | 1 | - 5,47)

Dann gilt

A_{A B S} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} \times \vec{A S} | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ - 8 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 0,96 \\ - 5 \\ - 5,47 \end{matrix}) | \approx 22,21

A_{A C S} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} \times \vec{A S} | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} - 7 \\ - 7 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 0,96 \\ - 5 \\ - 5,47 \end{matrix}) | \approx 27,03

A_{B C S} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} \times \vec{B S} | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{matrix} - 7 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 0,96 \\ 3 \\ - 5,47 \end{matrix}) | \approx 20,76

Gibt bei mir insgesamt

O \approx 99,12

Irgendwo wohl verrechnet...

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14:31 Uhr, 03.04.2012

Danke, das hab ich auch. Diese Lösung mit

208,77

FE stand im Lösungsheft. Frag' ich dann noch meine Lehrerin, was sie meint.

Aber trotzdem danke für deine Mühe gestern und heute.

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14:31 Uhr, 03.04.2012

Welche Lösung steht denn für das Volumen dort?

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14:49 Uhr, 03.04.2012

Als exaktes Ergebnis erhalte ich nun

O = \frac{1}{6} \cdot (24 \sqrt{53} + 8 \sqrt{278} + \sqrt{15542} + \sqrt{26342}) \approx 99,18

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13:29 Uhr, 09.06.2012

Kann hier jemand bitte noch mal kontrollieren, ob man auf

208,77

FE für die Oberfläche kommt?

Hab' das Beispiel nochmal ausgegraben, da ich nächste Woche Schularbeit habe. Wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr einen Blick drauf werft.

maxsymca

17:47 Uhr, 09.06.2012

Ich stimme Shipwater in allem zu.
Nur mit einem Mittelpunkt von einem Dreieck kann ich nix anfangen - was ihr habt ist der Schwerpunkt - kann man nehmen muss man aber nicht...

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18:47 Uhr, 23.07.2012

Hallo!

Bin grad beim Vektoren üben, und bin wieder auf mein altbekanntes Beispiel gestoßen.
Könnte jemand kontrollieren, ob er auf die

208,77

FE kommt, oder diese Lösung nicht stimmt.

Danke euch!

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19:05 Uhr, 23.07.2012

Dass du noch was auf die "Musterlösungen" deiner Lehrerin gibst...

Matlog aktiv_icon

11:07 Uhr, 24.07.2012

Maxsymca hat die Problematik bereits angesprochen:
Bei dieser Aufgabe ist überhaupt nicht klar, wo der Fußpunkt der Pyramidenhöhe liegen soll! Für das Volumen ist das natürlich egal, aber nicht für die Oberfläche.

Laut Aufgabentext soll es sich um eine gerade dreiseitige Pyramide handeln. Ich bin mir nicht sicher, ob es sowas mit einem unregelmäßigen Dreieck als Grundfläche überhaupt gibt.
Für mich hat eine gerade Pyramide eine regelmäßige Grundfläche (mit eindeutigem Mittelpunkt) und gleich lange Seitenkanten zur Spitze.

Will man für die Pyramide dieser Aufgabe gleich lange Seitenkanten erreichen, müsste man den Umkreismittelpunkt des Dreiecks als Höhenfußpunkt wählen (dadurch kann die Pyramide allerdings ganz schön schief werden!). Ich habe das mal gerechnet und

O \approx 112,98

erhalten.

Shipwater aktiv_icon

11:29 Uhr, 24.07.2012

Hi Matlog. Den Fall hatte ich auch mal durchgerechnet siehe hier:
http//www.onlinemathe.de/forum/Pyramide-Oberflaeche
Ich hab zwar ein anderes Ergebnis als du, aber man verrechnet sich ja auch schnell bei so was. Zumindest ist keine von unseren Lösungen nahe an der "Musterlösung". Wenn man sich aber mal die Threads vom TestAccount1245 anschaut, fällt einem auf, dass die "Musterlösungen" so gut wie nie stimmen. Das hat auch dazu geführt, dass ich das Wort "Musterlösung" nur noch in Anführungszeichen verwende. Bei uns in der Schule hatten wir "gerade (dreiseitige) Pyramide" so definiert, dass die Gerade durch Pyramidenspitze und Dreiecks-Schwerpunkt senkrecht zu der Ebene verläuft, in der die Grundfläche liegt.
Wikipedia ist übrigens der Meinung, dass eine gerade Pyramide kein regelmäßiges Polynom als Grundfläche haben muss (sondern nur ein punktsymmetrisches) siehe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_%28Geometrie%29#Gerade_Pyramide
Aber bei einem beliebigen Dreieck liegt ja weder das eine noch das andere vor...

Matlog aktiv_icon

12:55 Uhr, 24.07.2012

Hi Shipwater,
danke für die Infos!
Ich habe mich bei Teilfläche

A_{4}

verrechnet. Dein Ergebnis für die Oberfläche stimmt!

Testaccount1245 hat dann ja schon einige Berechnungen ausgelöst. Hoffentlich hat seine Lehrerin ihre Schüler informiert, was unter einer geraden Pyramide in diesem Fall zu verstehen ist. (Falls nicht empfinde ich eine solche Aufgabe als absolute Zumutung für die Schüler.)

Shipwater aktiv_icon

13:24 Uhr, 24.07.2012

Das einzige was hilft ist, dass TestAccount1245 mal seine Lehrerin anspricht. Aber irgendwas scheint ihn davon abzuhalten.

leah94 aktiv_icon

18:58 Uhr, 17.04.2013

hallo, sry dass ich mich da einmische, aber ich versteh nicht warum man für A den

n

vektor des kreuzprodukts nimmt? ist das nicht nur ein richtungsvektor und braucht man da nicht die genaue höhe ?

: S (

bitte um antwort, habe in 2 wochen matura )

Matlog aktiv_icon

10:25 Uhr, 18.04.2013

Da hast Du aber einen alten Schinken ausgegraben...

Ich nehme an, mit A meinst Du die Flächenberechnung.
Wenn man aus zwei Vektoren das Kreuzprodukt berechnet, dann gibt die LÄNGE dieses Kreuzprodukt-Vektors die Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms an. Die Hälfte davon entspricht somit der Dreiecksfläche.

Dies findest Du in jeder Formelsammlung. Wenn Ihr das nicht behandelt habt, dann geht das auch über die Berechnung der Dreieckshöhe, ist aber mehr Rechenarbeit. Shipwater hat das oben auch bei der Grundfläche einmal zum Vergleich gerechnet.

leah94 aktiv_icon

20:28 Uhr, 22.04.2013

aja stimmt du hast recht, danke :-) ja tut mir leid, ich bin ein fetzn kandidat in mathe und froh, wenn ich überhaupt was verstehe :-P) immerhin kann ich das kreuzprodukt ausrechnen :-D)

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