Vereinfachung Polynom / Faktoren

Hallo droxid
Ja - deine Beschreibung und Verständnis ist genau richtig.
Die Nullstelle ist hier nur ein wenig versteckt, und das scheint dich zu irritieren.

Vorschlag:
Betrachten wir doch erstmal den Nenner, also...
Nenner= 27*a^3 + 18*a^2 + 3*a

Wie du schon richtig gesagt hast, ist die Vorgehensweise die, erst mal die Nullstellen zu suchen.
Dem Nenner sieht man schon an, dass sich (3*a) ausklammern lässt, also:
Nenner= 3*a*[9*a^2 + 6*a + 1]

Daraus sehen wir, dass
a=0
eine Nullstelle ist.
Aber es ist nicht die einzige Nullstelle.
Ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren Null ist.
Die Nullstelle a=0 führt dazu, dass der Faktor vor der Klammer Null wird.
Suchen wir nun die Nullstellen, wenn der andere Faktor, also die Klammer selbst Null wird, also:
0=[9*a^2 + 6*a + 1]
Das ist eine gemischt quadratische Gleichung.
Die kannst du bestimmt selbst lösen.
Du wirst hoffentlich herausbekommen, dass der Term Null wird für:
a= -1/3

Streng genommen ist es eine doppelte Nullstelle.
aus a= -1/3 +/-Wurzel(0)
oder durch Polynomdivision
kann man nachvollziehen, dass diese Nullstelle doppelt gilt.

Wie weiter? Das hast du schon selbst treffend beschrieben:
"und dann durch (x + Nullstellte * (-1)) zu teilen."
Also dann, wir teilen durch (a + Nullstelle*(-1))
das ist (a + (-1/3)*(-1))
das ist (a + 1/3)
Folglich:
Nenner= 3*a*[9*a^2 + 6*a + 1]/(a+1/3) * (a+1/3)

Polinomdivision des Teilterms
[9*a^2 + 6*a + 1]/(a+1/3)
führt zu:
Nenner= 3*a*[9*a + 3] * (a+1/3)
Das gilt es jetzt nur noch 'hübscher' zu schreiben.
Aus der eckigen Klammer kann man die 3 ausklammern,
die runde Klammer empfiehlt sich mit 3 zu multiplizieren:
Nenner= 3*a*[3*(3*a + 1)] * 3*(a+1/3)/3
Nenner= 3*a*3*(3*a + 1) * (3*a+1)/3
Nenner= 3*a*(3*a + 1)*(3*a+1)

Und schon hast du den Term, den du gesucht hast.
Wie gesagt, es ist genau die Vorgehensweise, die du selbst beschrieben hast, nur ein wenig versteckt.

Zum weiteren Vorgehen mit dem Zähler.
Wir wissen, dass der Nenner bei a=-1/3 eine Nullstelle aufweist.
Durch Probieren ersehen wir, dass auch der Zähler bei a=-1/3 eine Nullstelle aufweist.
Folglich können wir beim Zähler in genau gleicher Weise Polinomdivision mit (a+1/3) oder (3*a+1) durchführen...

Viel Erfolg!