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Verlauf der Wendetangente durch den Ursprung?

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Hochpunkt, Parameter, Ursprungsgerade, Wendetangente

bikergirl aktiv_icon

14:59 Uhr, 30.08.2014

Hallo :-)

Ich habe folgendes Problem:ich soll anhand der Funktion f(x)=-x^3+ax^2

, a

ganz

R

untersuchen,ob es einen Parameterwert a gibt,für den die zugehörige Wendetangente durch den Koordinatenursprung verläuft.

Ich habe dazu zunächst mithilfe der Ableitungsfunktionen den Wendepunkt WP

(\frac{1}{3} | \frac{2}{27}

)berechnet und durch die Werte des Wendepunktes die Funktion der Wendetangente

y = \frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{27}

berechnet.dann habe ich für die Bedingung,dass die Tangente durch den Ursprung verläuft,für

x

und

y

in der Wendetangentenfunktion 0 eingesetzt aber ich komme zu einem Widerspruch

0 = - \frac{1}{27}

.

Bedeutet das,dass die Wendetangente nicht durch den Ursprung verläuft,oder dass der Parameterwert

- \frac{1}{27}

ist? Ich muss dazu sagen dass wir dieses Thema zuvor nicht im Unterricht behandelt haben sondern jetzt in den Hausaufgaben zum ersten Mal mit sowas konfrontiert werden,also seid bitte nicht zu streng mit mir :-D)

Ich habe hier im Forum zwar einen Lösungsansatz gefunden, aber der hilft mir nicht weiter weil ich mir nicht sicher bin ob meine Berechnung des WP richtig ist,da vermutlich meine Ableitungsfunktionen nicht richtig sind.auch das berechnen der Ableitungsfunktionen hatten wir bisher nur mit gegeben zahlen und jetzt ist diese gegebene Zahl auf einmal die Variabel

a

,ich bin komplett aufgeschmissen.generell weiß ich wie es geht aber ich bin grade einfach nur verwirrt wegen diesem Parameter

a

.lch habe folgende (Ableitungs-)funktionen:

f(x)=-x^3+ax^2

f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x

f'' (x) = - 6 x + 2

f''' (x) = - 6

ich bin mir ziemlich sicher dass ich irgendwo einen (Denk-)Fehler drin habe aber ich finde ihn nicht!

- . -

Danach soll ich zeigen,dass Wendepunkt und Hochpunkt -habe ich zwar auch berechnet,aber vermutlich ja Folgefehler HP

(0,67 | 0,15 \cdot a)

-jedes Graphen Gf für a ganz

R > 0

auf einer Ursprungsgeraden liegen,aber wie mache ich das denn für jeden Graphen der Funktionsschar?Kann mir da jemand weiterhelfen?

: (

Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MaStudent aktiv_icon

15:20 Uhr, 30.08.2014

Hallo hallo,

erstmal soviel: Wenn du einen Parameter

a

in der Funktion hast, so wird dieser als normale Zahl beim ableiten behandelt. Deine Ableitungen sehen demnach wie folgt aus:

f (x) = - x^{3} +

ax²

f' (x) =

-3x²

+

2ax

f'' (x) = - 6 x + 2 a

f''' (x) = - 6

Wenn "a"

z . B

. 4 wäre wird ja aus

4x² in der Ableitung

2 \cdot 4 \cdot x,

also

8 x

.

Deswegen bleibt a noch bist zur zweiten Ableitung bestehen.
Somit muss auch der Wendepunkt in Abhängigkeit von a stehen, a wird also auch in deinem Wendepunkt vorkommen.

Liebe Grüße.

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15:53 Uhr, 30.08.2014

f (x) = - x^{3} + a x^{2}

f' (x) = - 3 x^{2} + 2 a x

f'' (x) = - 6 x + 2 a

Wendepunkt:

- 6 x + 2 a = 0

x = \frac{1}{3} a

f (\frac{1}{3} a) = - \frac{1}{27} a^{3} + \frac{1}{9} a^{3} = \frac{2}{27} a^{3}

f' (\frac{1}{3} a) = - 3 \cdot \frac{1}{9} a^{2} + \frac{2}{3} a^{2} = \frac{1}{3} a^{2}

Wendetangente:

y = (x - x_{w}) \cdot f' (x_{w}) + f (x_{w})

y = (x - \frac{1}{3} a) \cdot \frac{1}{3} a^{2} + \frac{2}{27} a^{2} = \frac{1}{3} a^{2} x - \frac{1}{9} a^{3} + \frac{2}{27} a^{3} = \frac{1}{3} a^{2} x - \frac{1}{27} a^{3}

Nullpunkt einsetzen:

0 = \frac{1}{3} a^{2} \cdot 0 - \frac{1}{27} a^{3}

\frac{1}{27} a^{3} = 0

a = 0

Für

a = 0

gibt es diese Wendetangente. Die Fkt. lautet dann:

f (x) = - x^{3}

Die Wendetangente hat die Gleichung:

y = 0

bikergirl aktiv_icon

16:29 Uhr, 30.08.2014

Danke für die Hilfe,jetzt hab ichs verstanden :-)

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