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Volumen im Zylinder nur mit Höhe berechnen!

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Formel, Höhe, Kugel, Volumen, Zylinder

LottaSatz aktiv_icon

15:14 Uhr, 27.04.2009

Hallöchen,
ich brauche bitte ganz schnell eure hilfe!
Also:

Gegeben ist eine Kugel. In diese Kugel wird ein Loch reingebohrt.
So dass man von oben bis unten hindurch gucken kann.
das loch ist direkt in der Mitte.
Der teil der herausgebohrt ist ähnelt einem Zylinder.
Nur das oben und unten jeweils noch eine "wölbung" ist bzw etwas übersteht ( weil es ja aus einer kugel ist)
Die eine Seite (der rand IN der kugel, also die höhe am rand) beträgt 6 cm. (natürlich überall am rand)
Leider ist die höhe DIREKT IN DER MItTE, etwas höher (wegen kugelform)
nun soll ich das Volumen dieses Zylinderformigen teil berechnen.(MIT dem was oben und unten "übersteht")

Ich habe keine Ahnung wie das gehn soll.
Vielleicht könt ihr mir ja helfen ?
Wichtig ist das es halt nicht genau ein zylinder ist.
und das nur ein wert gegeben ist (

h =

6cm)

Das ist eine sehr schwere aufgabe!
Viel spaß & erfolg
ich hoffe ihr könnt mir helfen!
wäre super lieb :-)
DANKE!

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

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magix aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.04.2009

Tut mir leid, aber deine Angaben sind so wirr, dass ich beim besten Willen nicht weiß, wo ich diese 6 cm jetzt hintun soll. Ist das der Durchmesser des Zylinders? Oder die Höhe oder ganz was anderes? Ist denn noch der Radius der Kugel gegeben oder sonst irgendwas?

Und noch was: Wir sind hier keine Dienstleistungsfirma, sondern machen das freiwillig und aus Spaß an der Freud. Hetzen lassen wir uns nicht. Also mit ganz schnell und zackzack fertige Lösung her, geht hier nix.

Gruß Magix

Edddi aktiv_icon

15:40 Uhr, 27.04.2009

...leider ist die Aufgabe nicht mit einem Zahlenwert lösbar, sondern nur in Abhängigkeit von

r

(mit

r > 3) .

Also legen wir los:

Zuerst zerlegen wir (gedanklich) den Körper in die beiden identischen Kugelsegmente und dem reinen Zylinder.

Radius des reinen Zylinders:

R_{Z} = \sqrt{r^{2} - 9}

damit erhalten wir für das Volumen:

V_{Z} = Π \cdot (r^{2} - 9) \cdot 6

Jetzt zu die Kugelsegmente:

V_{K} = \frac{Π \cdot h^{2}}{3} \cdot (3 \cdot r - h)

wobei

h = r - 3,

damit ergibt sich für beide Segmente:

2 \cdot V_{K} = 2 \cdot \frac{Π \cdot {(r - 3)}^{2}}{3} \cdot (3 \cdot r - (r - 3))

2 \cdot V_{K} = 2 \cdot \frac{Π \cdot {(r - 3)}^{2}}{3} \cdot (2 \cdot r + 3)

2 \cdot V_{K} = 2 \cdot Π \cdot (\frac{2}{3} \cdot r^{3} - 3 \cdot r^{2} + 9)

und damit das Gesamtvolumen:

V = V_{Z} + 2 \cdot V_{K}

V = Π \cdot (r^{2} - 9) \cdot 6 + 2 \cdot Π \cdot (\frac{2}{3} \cdot r^{3} - 3 \cdot r^{2} + 9)

V = 2 \cdot Π \cdot (\frac{2}{3} \cdot r^{3} - 18)

V = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot r^{3} - 2 \cdot Π \cdot 18

...erstaunlicherweise, wenn meine Formel stimmt, bleibt immer ein Rest von

36 \cdot Π

übrig, wenn man aus einer Kugel diese 6 Einheiten hohe Form rausschneidet....

Super Aufgabe...

magix aktiv_icon

15:47 Uhr, 27.04.2009

Bravo Eddi, das ist genial. Macht echt Spaß, das nachzuvollziehen.

Gruß Magix

Edddi aktiv_icon

15:50 Uhr, 27.04.2009

...Jau...und ich hätte nicht erwartet, das das Restvolumen immer konstant bleibt...´

:-)

LottaSatz aktiv_icon

19:05 Uhr, 27.04.2009

woow
echt toll! Dankeschön!!!
ich habe aber trotzdem noch einpaar fragen. ;-)
woher weist du das r > 3 ist ?
und wieso du bei der ersten rechnung -9 rechnest ?
tut mir leid, ich weis das ich kein mathegenie bin.

achso und, ich weis das ihr das freiwillig macht, und ich finde das wirklich sehr sher nett!
das sollte keineswegs so doof rüberkommen! wirklich nicht.
ich war nur in eile, ich muss das morgen abgeben und meine zeugnisnote noch zuretten..
also ich finde das echt klasse das ihr da smacht!
Danke .. :-)

pleindespoir aktiv_icon

01:19 Uhr, 28.04.2009

Der Durchmesser des Zylinders mit den beiden Kalotten an den Enden ist ja nicht gegeben. Was wir wissen, ist, dass nach dem Ausbohren des Zylinders aus der Kugel, die Schnitte der Ausbohrungen einen Abstand von 6 haben. Bei einem unendlich dünnen Zylinder wäre die Kugel dann mit dem Radius 3. Je grösser der Zylinderdurchmesser, umso grösser muss dann ja wohl auch die Kugel sein. Wäre mal interessant drüber nachzudenken, wie gross die Kugel maximal sein darf...

Edddi aktiv_icon

07:45 Uhr, 28.04.2009

...jau...

r \geq 3

genau wie mein Vorredner schon bemerkte, denn wenn

r < 3

wäre der Durchmesser der Kugel

< 6,

und dann kein Zylinder mit deinen Merkmalen (Höhe Rand

= 6)

gebildet werden.

Den Radius des Zylinders bekommt man einfach über den Pythagoras:

r^{2} = R_{Z}^{2} + {(\frac{h_{z}}{2})}^{2}

Da du die Zylinderhöhe gegeben hattest:

h_{Z} = 6

r^{2} = R_{Z}^{2} + 9

und damit:

R_{Z} = \sqrt{r^{2} - 9}

Für

r = 3

hätte der Zylinder zwar die Höhe

6,

aber einen Durchmesser von

0 .

V = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot r^{3} - 36 \cdot Π = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot 27 - 36 \cdot Π = 0

...für jeden größeren (und zwar BELIEBIG großen Radius) bestimmt sich das Volumen genauso.

V = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot r^{3} - 36 \cdot Π

man sieht, das von der Ursprungs-Kugel immer ein fester Betrag

(\in

unserem Fall für die definierte Höhe von 6 eben 36*PI) abgezogen wird,

d . h

. der Restkörper (Ring) hat immer dasselbe Volumen, egal welchen Radius, bzw. Durchmesser, die Kugel hatte.

wen's interressiert, der feste Betrag des Restkörpers ist ja von der Höhe

h

abhängig.

Das Volumen des Restkörpers

V_{R}

bestimmt sich für

r \geq \frac{h}{2}

nach:

V_{R} = - \frac{1}{6} \cdot Π \cdot h^{3}

Damit haben wir die universelle Formel für deinen "komischen" Zylinder:

V = V_{K} - V_{R}

V = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot r^{3} - \frac{1}{6} \cdot Π \cdot h^{3} = Π \cdot (\frac{4}{3} \cdot r^{3} - \frac{1}{6} \cdot h^{3}) = \frac{Π}{6} \cdot (8 \cdot r^{3} - h^{3}) = \frac{Π}{6} \cdot (d^{3} - h^{3})

...hey...super einfache Formel also (für

d > h) :

V = \frac{Π}{6} \cdot (d^{3} - h^{3})

:-)

LottaSatz aktiv_icon

22:15 Uhr, 28.04.2009

Danke!
ich habs verstanden :-D)
vielen vielen dank!
respekt, das ihr das mal eben so macht!
:-)
viel spaß noch, ich glaub ihr helft hier vielen !;D

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