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Vorzeichentabelle und Extrema/Monotonie

Schüler

Tags: Extrema, Gebrochen-rationale Funktionen, Monotonie, Nullstell, Vorzeichentabelle

Maya1 aktiv_icon

11:15 Uhr, 18.11.2015

Hallo!
ich frage mich gerade bei der Aufgabe wie die Vorzeichentabelle interpretiert wird hinsichtlich der Monotonie und der Extrema. Ich arbeite erst seit kurzem mit der Vorzeichentabelle und bin daher noch etwas unsicher. Ich würde persönlich am Ende vier Intervalle angeben ( In der Lösung sind 3 angegeben).

f (x) = \frac{- x^{2} + 1}{x + 2}

f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}

] -

unendlich;

- 2 - \sqrt{3}]

(streng monoton fallend)

[- 2 - \sqrt{3}; - 2 [

(streng monoton wachsend)

] - 2; - 2 + \sqrt{3}]

(streng monoton fallend)

[- 2 + \sqrt{3}; +

unendlich

[

(streng monoton wachsend)

Außerdem habe ich als Extrempunkte 2 Tiefpunkte wegen dem 2 mal vorkommenden Vorzeichenwechsel von - nach

+

. In der Lösung ist es ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt.

Wo liegt der Fehler? Vielen Dank für jede Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

13:09 Uhr, 18.11.2015

Hallo,
da Dir noch niemand geholfen hat, probiere ich es.
Die Funktion

f (x) = \frac{- x^{2} + 1}{x + 2}

hat an der Stelle

x = - 2

eine "einfache" Polstelle (Grund: einfache Nullstelle des Nenners).
Wenn man dort die Grenzwerte sucht, findet man

lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- x^{2} + 1}{x + 2} = + \infty

(weil Nenner negativ und Zähler negativ)

lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{- x^{2} + 1}{x + 2} = - \infty

(weil Nenner positiv und Zähler negativ)
Daneben folgen aus der von Dir korrekt angegebenen ersten Ableitung waagrechte Tangenten an den Stellen

x_{1} = - 2 - \sqrt{3}

x_{1} = - 2 + \sqrt{3}

lim_{x \to - \infty} \frac{- x^{2} + 1}{x + 2} = + \infty

stimmt die Aussage, dass die Funktion in den Intervallen

] - \infty; - 2 - \sqrt{3}] (

monoton fallend)

[- 2 - \sqrt{3}; - 2 [(

monoton steigend)
ist.
(Wenn Du die Stelle

x_{1} = - 2 - \sqrt{3}

in beiden Intervallen ausschließt, dann darfst Du "streng" hinzufügen
(Grund: Wagrechte Tangente an dieser Stelle).
Aber für die beiden anderen Intervalle finde ich entgegengesetztes Monotonieverhalten . . .
;-)

Maya1 aktiv_icon

13:35 Uhr, 18.11.2015

Zunächst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort!! Nun habe ich eine kleine Rückfrage und zwar möchte ich jetzt nochmal nachrechnen indem ich die linken und rechten Werte von den Nullstellen in

f'

einsetzte. Setzt man dann die Werte in die komplette 1. Ableitung oder nur in den Zähler ein? (Ich habe bei den Ergebnissen in die Linearfaktoren eingesetzt)

funke_61 aktiv_icon

13:39 Uhr, 18.11.2015

Du verwirrst mich mit Deinem letzten Beitrag.
Was willst Du genau zeigen?

Maya1 aktiv_icon

13:50 Uhr, 18.11.2015

Ich wollte dich nicht verwirren entschuldige. Ich zeige mal am besten am Bild von meiner Vorzeichentabelle..

Ich habe ehrlich gesagt mit den gerundeteten Werten gerechnet und merke gerade, dass was anderes rauskommt wenn ich die Werte nicht so belasse und so einsetzte.. Stimmt was mit der Linearfaktorzerlegung nicht? ich verstehe nix mehr

funke_61 aktiv_icon

14:00 Uhr, 18.11.2015

ach so,
wenn Du das Vorzeichen der 1. Ableitung an einer bestimmten Stelle

x

suchst,
um Steigen oder Fallen zu ermitteln,
dann musst Du eigentlich in die "komplette Ableitung" einsetzen, nicht nur in den Zähler - sondern auch den Nenner - .

Hier bei dieser gebrochen rationalen Funktionen könntest Du aber auch davon ausgehen, dass der Nenner grundsätzlich positiv ist (ausser an der Definitionslücke (Polstelle)) -
Kannst Du nachvollziehen warum?
;-)

Maya1 aktiv_icon

14:03 Uhr, 18.11.2015

Wegen dem Quadrat? Da ist es ja egal ob ich nun eine negative Zahl in der Klammer habe oder eine positive. Durch das Quadrieren wirds wieder positiv.

funke_61 aktiv_icon

14:10 Uhr, 18.11.2015

genau :-)
Nullstellen dieser Funktion sind

x_{3} = - 1

x_{4} = + 1

Erste Ableitung ist

f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}

Wenn ich die Nullstellen in (die komplette)

f' (x)

einsetzte, erhalte ich

f' (- 1) = + 2 > 0

(monoton steigend)

f' (+ 1) = - \frac{2}{3} < 0

(monoton fallend)
Wenn ich wegen des hier grundsätzlich positiven Nenners der ersten Ableitung nur in den Zähler einsetze,
bekomme ich das gleiche Monotonieverhalten . . .
Aber dies widerspricht sich mit den von Dir ganz oben gemachten Aussagen . . .

Maya1 aktiv_icon

14:27 Uhr, 18.11.2015

Also ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und komme auf folgende Intervalle und Extrempunkte ich hoffe wirklich, dass es diesmal stimmt sonst kriege ich die Krise :-D) (Den ersten und letzten Intervall kann man noch zusammenfassen, habe es jedoch getrennt aufgeschrieben)

funke_61 aktiv_icon

14:36 Uhr, 18.11.2015

Ja, jetzt ist es prinzipiell ok.
aber wenn Du genau sein willst, dann schließe
ENTWEDER
den Punkt mit waagrechter Tangente jeweils aus den "benachbarten" Intervallen aus
(In diesem Fall kannst Du dann auch jeweils "streng monoton" schreiben)
ODER
nimm den Punkt mit waagrechter Tangente nur zu einem der "benachbarten" Intervalle "mit dazu".
(In dem Intervall, in dem die Stelle mit waagrechter Tangente enthalten ist,
solltest Du dann das "streng" weglassen).
;-)

Maya1 aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.11.2015

Okey mache ich! Vielen vielen Dank Funke61

!!

funke_61 aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.11.2015

gern :-)

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