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Werte und Definitionsbereich einer Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Definitionsbereich, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion, Wertebereich

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08:58 Uhr, 23.04.2013

Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und würde mich über Hilfe freuen, da ich schon seit zwei Wochen über dieser Aufgabe hänge und nicht zu einem zufriedenstellenden Ergebnis komme...

Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Funktion

f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

für

x \geq 0

eine Umkehrfunktion besitzt, bestimmen Sie diese und ihren Definitions und Wertebereich!

Ich habe über Monotonie bereits bewiesen, dass die Funktion für

x \geq 0

streng monoton steigend ist und damit eine Umkehrfunktion besitzen muss.
Wenn ich die Umkehrfunktion durch den Austauch der Variablen bestimme, erhalte ich die Umkehrfunktion:1-(1/(x²-2x)).

Mein Problem sind nun die Werte- und Definitionsbereiche. Denn laut Definitin müssten ja der Defitionsbereich von

f (x)

mit dem Wertebereich von

f^{- 1}

übereinstimmen und umgekehrt. Das ist bei mir aber nicht der Fall.

kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt? Habe ich einen Denkfehler gemacht oder etwas Grundlegendes falsch verstanden? Ich bin über jede Hilfe dankbar!

Spaßfaktor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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09:12 Uhr, 23.04.2013

Wenn ich die Umkehrfunktion auf deinem Weg bilde, komme ich auf

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}

deshalb glaube ich, dass Du dich hier beim Umformen verrechnet hast.

Überprüfe bitte mit diesem Funktionsterm die Vertauschung von Wertebereich und Definitionsbereich.

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09:28 Uhr, 23.04.2013

das sieht gut aus, vielen dank für die schnelle Hilfe, aber wie komme ich dahin?
Mein bisheriger Weg war folgender:

f (x) = y = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

dann

x

und

y

austauschen, auf beiden Seiten

- 1

und dann quadrieren. So kommt dann bei mir

x^{2} - 2 x + 1 = \frac{y}{y + 1}

Dann habe ich mit dem Nenner durchmultipliziert, das

y

mit auf die linke Seite gezogen und dann

y

ausgeklammert und alles ohne

y

auf die rechte Seite gebracht:

y (x^{2} - 2 x) = - x^{2} + 2 x - 1

Dan habe ich durch

(x^{2} - 2 x)

geteilt und komme so zu meiner Umkehrfunktion:

f^{- 1} = \frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} - 2 x} = - 1 - \frac{1}{x^{2} - 2 x}

Was habe ich da falsch gemacht?

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09:30 Uhr, 23.04.2013

moment,
oben schreibst Du:

f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

was stimmt denn nun?

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09:33 Uhr, 23.04.2013

Oh Mist, entschuldige, da habe ich oben einen Fehler gemacht. es muss heißen

f (x) = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

.
Ich kam mit dem Foreln am Anfang nicht zurecht...

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09:49 Uhr, 23.04.2013

hm, ich komme dann auch auf Dein Ergebenis und es sollte auch stimmen.

Was hast Du für einen Definitionsbereich und was für einen Wertebereich für

f (x) = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

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09:51 Uhr, 23.04.2013

Mein Definitionsbereich für

f (x)

sind alle

x \geq 0

und der Wertebereich alle

x \geq 1

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09:54 Uhr, 23.04.2013

Der Wertebeeich für

f (x) = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

geht aber nur von 1 bis 2
denn

lim_{x \to + \infty} 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} = 1 + 1 = 2

also

D_{f} = [0; \infty [

W_{f} = [1; 2 [

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10:05 Uhr, 23.04.2013

Das macht Sinn.
kann ich von der Funktion

f (x)

ausgehend sagen, das der Defintionsbereich der Umkehrfunktion auch

1 \leq x < 2

ist? Grundsätzlich könnte die Umkehrfunkion einen viel größeren Defitions- und Wertebereich haben, wenn man für

x

alle

R

ohne 0 und 2 einsetzt. Bei den bisherigen Umkehrfunktionen, die ich bearbeitet habe, war der Definitionsbereich immer der maximal mögliche für diese Funktion. hier ist er durch die Funktion aber stark eingeschränkt. Kann das so sein?

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10:19 Uhr, 23.04.2013

genau das war ja auch gefragt.
Die Umkehrfunktion der Funkton

f (x) = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}}

für

x \geq 0

ist eben nur ein "halber Ast" der Funktion

f^{- 1} (x) = \frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x (x - 2)}

und zwar eben der "halbe Ast" im entsprechenden Intervall:

D_{f^{- 1}} = {x | 1 \leq x < 2}

Wertebereich ist der vorherige Definitionsbereich also:

W_{f^{- 1}} = {x | x \geq 0}

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10:22 Uhr, 23.04.2013

Vielen Dank, dann verstehe ich das jetzt alles. Puh, ich habe da wirklich 2 Wochen drüber gesessen. Danke für diese schnelle und kompetente Hilfe!

funke_61 aktiv_icon

10:23 Uhr, 23.04.2013

gern geschehen.
hoffentlich kommst Du das nächste Mal früher mit einer konkreten Frage :-)

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10:25 Uhr, 23.04.2013

Das werde ich! Aber ich probiere immer gerne dran rum und finde dann auch gerne selber das Ergebnis. Aber ab und zu sind Denkanstöße oder Fingerzeige doch sehr hilfreich. Also noch einmal: Danke!

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