Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » gleichseitiges Dreieck im Quadrat

gleichseitiges Dreieck im Quadrat

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Dreieck, Fläche, Gewöhnliche Differentialgleichungen, maximale

alma-svenson aktiv_icon

00:31 Uhr, 22.02.2009

Die Aufgabe lautet: Welche gleichseitigen Dreiecke, die einem gegebenen Quadrat mit der Seitenlänge a einbeschrieben sind, haben maximalen Flächeninhalt? Ich weiß, wie das Dreieck liegen muss, aber ich kann es nicht beweisen. Ich weiß auch, daß ich die erste Ableitung bilden muss, aber wovon?

Für jede Hilfe schon jetzt vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

04:33 Uhr, 22.02.2009

Klingt nach Maximalwertberechnung...

Ein Tipp, der mir jetzt sofort eingefallen ist:
Es gibt zwei Wege wie man das ganze Betrachten kann.
Entweder der Flächeninhalt der eingezeichneten Dreiecks wird maximal oder man betrachtet die sonstigen Flächen, die noch in dem Qadrat liegen.

Dabei müssen wir ein paar Fälle unterscheiden.
Fall

A : 2

der 3 Eckpunkte liegen auf der gleichen Seite
Fall

B :

alle Eckpunkte liegen auch verschiedenen Seiten
Fall

C : 1

oder 2 Eckpunkte der Dreiecks liegen in 1 oder 2 Eckpunkten des Qudrats.

Bei Fall A entstehen in dem Quadrat 1 Dreieck und zwei Vierecke.
Bei Fall

B

entstehen 2 Dreiecke und 1 Viereck
Bei Fall

C

haben wir entweder eine Situation wie bei

B

oder 3 Dreiecke

Da wir ja die Punkte des eingezeichneten Dreiecks festlegen können wir daraus die Eckpunkte der anderen entstanden Flächen herleiten und da die ggf zusätzlich entstanden Dreiecke einen rechten Winkel haben ist das sicher leichter zu rechnen.

Jetzt besteht eben die Aufgabe darin die Restflächen zu minimieren aber irgendwie fällt mir dazu momentan nichts ein. (Mag an der Uhrzeit liegen)

Ich hoffe meine Anstätze helfen dir irgendwie weiter.

Edit: Ich sehe gerade erst die Bemerkung, dass es ein gleichseitiges Dreieck ist, was die Anzahl der möglichen Fälle sicher noch weiter einschränkt.

Edit2: Ich habe mir die Sache nochmal durch den Kopf gehen lasse und komme zu der Erkenntnis, dass man bei dieser Aufgabe nur einen der 3 Eckpunkte als Variable hat und sich die anderen beiden dadurch automatisch ergeben.
Die Restfläche ist also ebenfalls nur von diesem einen Eckpunkt abhängig.
Jetzt müsste man also einen Eckpunkt an einer Seite komplett entlang laufen lassen und schauen an welcher Stelle von 0 bis a der Flacheninhalt des Dreiecks am größten bzw. der Inhalt der Restflächen am geringsten ist.

alma-svenson aktiv_icon

09:22 Uhr, 22.02.2009

Also ich hab bis jetzt versucht, auf verschiedenen Wegen den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von a darzustellen. Das ist mir auch, glaube ich, gelungen. Nur leider kommt jedesmal etwas positives heraus, so dass auch die zweite Ableitung immer positiv ist: \$A= a^2(1+\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\sqrt{3}\$.

Deinen Ansatz mit der Betrachtung des Restes habe ich auch bereits versucht. Was ich nicht gemacht habe, ist die Veränderung bei Bewegung eines Punktes formal zu dokumentieren. Ich habe auch ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich das anstellen soll. Ich steh total auf dem Schlauch...

Cauchy09

11:27 Uhr, 22.02.2009

Mir fällt gerade nur ein, wie man das ohne Extremwert lösen kann. Siehe die angehängte Skizze.

I.

s^{2} = x^{2} + a^{2}

II.

s^{2} = {(a - x)}^{2} + {(a - x)}^{2} = 2 {(a - x)}^{2}

x^{2} + a^{2} = 2 {(a - x)}^{2}

\Leftrightarrow 2 a^{2} - 4 a x + 2 x^{2} - x^{2} - a^{2} = 0

\Leftrightarrow x^{2} - 4 a x + a^{2} = 0

\Leftrightarrow x = 2 a

\sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = 2 a

\sqrt{3 a^{2}} = 2 a

\sqrt{3} a

\to x_{1} = (2 - \sqrt{3}) a

\to x_{2} = (2 + \sqrt{3}) a

Hier kommt nur

x_{1}

in Frage, weil

x_{2}

nicht die Bedingung

x \leq a

erfüllt.

Damit ergibt sich für die Seitenlänge

s

des Dreiecks:

s^{2} = {(2 - \sqrt{3})}^{2} \cdot a^{2} + a^{2}

...

\to s = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) a = 1,0353 a

Und für den Flächeninhalt:

A = \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} = . .

= (2 \sqrt{3} - 3) a^{2} = 0,4641 a^{2}

Das war zwar nicht das was du wolltest, aber vielleicht kommt ja noch jemand drauf.

alma-svenson aktiv_icon

23:19 Uhr, 23.02.2009

Eine Teilaufgabe zu der oben gestellten, war, ich sollte den Flächenanteil (des Dreiecks) im Quadrat bestimmen. Mitlerweile bin ich so kirre, dass ich gerne eine Bestaetigung haette, dass das auch richtig ist, was ich habe.
A

[

Dreieck]=( (2+Wurzel(3))/16*Wurzel(3) )*A[Quadrat]
Darauf gekommen bin ich über den Sinussatz, der mir sagt a/s=sin90°/sin75° = (Wurzel(6)+Wurzel(2))/4. Aufgelöst habe ich nach

a

. Bei diesen Werten habe ich vorrausgesetzt, dass ich bereits bewiesen habe, dass eine der Höhen vom Dreieck auf der Diagonale des Quadrats liegt.

@cauchy09:
Kann es sein dass du dich verrechnet hast. Ich hab es mehrfach versucht nachzurechnen und es kam immer das gleich raus, Das Ergebnis war aber anders, als deins.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

580332

579562

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?