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Herleitung der Kreiszahl Pi

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie kann man die Kreiszahl $π$ herleiten?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

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Wie kann man mit einfachen Mitteln die Zahl $π$ bestimmen?

Für alle Kreis gilt: Der Umfang $U$ ist das $π -$ fache des Durchmessers $d$

$U = π \cdot d$

Das heißt, hat man einmal den Umfang $U$ und den Durchmesser eines Kreises gemessen
so kann man den Wert von $π$ bestimmen durch:

$π = \frac{U}{d}$

Jedoch ist es sehr schwierig den Umfang eines Kreises zu messen.
Einen genaueren Wert von $π$ erhält man durch mathematische Näherungsverfahren die dann in der Regel durch Computerprogramme durch geführt werden.

Gibt es ein Algorithmus zur Berechnung von $π$ ?

Es gibt jede Menge Algorithmen zur Berechnung von $π$ .

Empfehlenswert ist das Buch "Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik" (Springer Verlag Heidelberg $1998;$ ISBN $3 - 540 - 63419 - 3;$ Autoren: J. Arndt, Ch. Haenel. Dort findet man unter anderem auch Quellprogramme zu den wichtigsten $π$ -Algorithmen.

Mehr über die Zahl $π$ findet man $z . B$ unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
http//pi314.at/
http//www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html
http//www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html

Beispiel eines Näherungsverfahren

Man wählt ein Kreis aus mit Radius $r = 0,5$

Der Umfang des Kreises ist dann gleich

$U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 0,5 = π$

Ziel ist es also den Umfang des Kreises näherungsweise zu bestimmen, dann kommt man an die Zahl $π$ ran.

Man zeichnet nun ein regelmäßiges Dreieck in den Kreis ein.

bild_1

Verdoppelt man anschließend die Anzahl der Eckpunkte, erhält man ein 6-eck usw...
Aus einem n-Eck wird so ein 2n-Eck. Mit wachsender Eckenanzahl nähert sich das n-Eck immer mehr der Kreislinie an und somit an die Zahl $π$ .

$n = 6$

bild_2

$n = 12$

Ist die Länge der n-Eckseite bekannt, so kann man aus ihr die Länge der 2n-Eckseite ausrechnen.

Hier ein Ausschnitt eines 2n-Eck.

bild_4

Dabei ist:

$M$ der Mittelpunkt des Kreises
$A, B, C$ Punkte des 2n-Eck
$s_{2 n}$ die Seite des 2n-Ecks
$s_{n}$ die Seite des n-Ecks

Dann gilt:

$M A = 0,5$

$A C = s_{n}$

$A B = B C = s_{2 n}$

$A F = F C = 0,5 \cdot s_{n}$

Im Dreieck $A B F$ gilt wegen Pythagoras die Beziehung $(1)$

$A B^{2} = B F^{2} + A F^{2} \Leftrightarrow s_{2 n}^{2} = B F^{2} + {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}$

Im Dreieck $M A F$ gilt wegen Pythagoras die Beziehung

$M F^{2} = M A^{2} - A F^{2} \Leftrightarrow M F^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}$

$\Rightarrow M F = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}}$

$B F$ lässt sich dann schreiben als:

$B F = M B - M F = \frac{1}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}}$

Setzt man nun $B F$ in die Beziehung $(1)$ ein, so gilt folgendes:

$s_{2 n}^{2} = {(\frac{1}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}})}^{2} + {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}$

Durch Auflösen der Klammer und Umformen der Terme, gilt dann für $s_{2 n} :$

$s_{2 n} = \sqrt{(\frac{1}{2} \cdot (1 - \sqrt{1 - s_{n}^{2}}))}$

Somit gilt für den Umfang des 2n-Eckes:

$U = n \cdot s_{2 n}$

Beginnt man nun mit einem 6-Eck kann man sich immer weiter $π$ annähern. Da die 6 Dreiecke aus denen das 6-Eck besteht gleichschenklige Dreiecke sind, kommt man leicht auf den Start-Wert: $s_{6} = 0,5$

bild_5

Die Tabelle zeigt wie man sich $π$ nähern kann (dabei wurde die Seitenlänge des 2n-Ecks mit der Seitenlänge des Vorgängers bestimmt)

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