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Herleitung der allgemeinen Tangentenformel

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Tangentengleichung

 
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maximilian5

maximilian5 aktiv_icon

10:41 Uhr, 13.05.2010

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Also meine Frage ist: Wie leite ich die formel t(x)=f'(x0)⋅(x-x0)+f(x0) also die allgemeine tangentenformel her?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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fhuber

fhuber aktiv_icon

11:15 Uhr, 13.05.2010

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t(x)=f'(x0)⋅(x-x0)+f(x0) ist eine Geradengleichung.

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet: y=m⋅x+t

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung an der stelle x0.
Daher gilt: m=f'(x0)

Die Gleichung unserer Tangente kann also schon geschrieben werden als:
y=f'(x0)⋅x+t

Die Tangente soll durch den Punkt Q(x0,f(x0)) verlaufen.

Somit liegt der Punkt Q(x0,f(x0)) auf der Tangentenfunktion t(x).
Daraus folgt: f(x0)=m⋅x0+t⇔t=f(x0)-m⋅x0.

Da m=f'(x0) war folgt:

t=f(x0)-f'(x0)⋅x0

Nun muss nur noch das t in die Gleichung eingesetzt werden:

t(x)=f'(x0)⋅x+f(x0)-f'(x0)⋅x0

Umstellen, so dass die Terme mit f'(x0) beisammen stehen:

t(x)=f'(x0)⋅x-f'(x0)⋅x0+f(x0)

Nun noch f'(x0) ausklammern:

t(x)=f'(x0)⋅(x-x0)+f(x-0)

Fertig - Tangentengleichung ist hergeleitet.
Frage beantwortet
maximilian5

maximilian5 aktiv_icon

12:46 Uhr, 13.05.2010

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dankeschön :-)