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logistisches Wachstum: Formel herleiten

Schüler

Tags: Herleitung, logistisches Wachstum, referat

Geoviereck aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.12.2012

Ich brauche das für eine Mathe GFS, hab schon versucht das irgendwie gleichzusetzten aber das hat mich auch nicht schlauer gemacht.

Die Aufgaben zum logistischen Wachstum:

a)

Weisen Sie nach, dass die Funktion

f

mit

f (x) =

S/(1+ae hoch -Skt)
Lösung der Differentialgleichung

f' (x) = \frac{k}{s}

mal

f (x)

mal

(S - f (x))

ist.

b)

B

mit

B (t) = a

mal

\frac{S}{a + (S - a) e}

hoch -Skt)
""

B' (t) = k

mal

B (t)

mal

(S - B (t))

.

Sorry für die Schreibweise, ist mein erster Beitrag hier.
Bitte helft mir, das ist für mich sehr wichtig.
Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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CKims aktiv_icon

15:17 Uhr, 24.12.2012

bilde die ableitung

f'

ersetze das

f' (x)

in der differentialgleichung mit deiner berechneten ableitung und ersetze das

f (x)

in der differentialgleichung mit der wachstumsformel... wenn sich dann eine gleichheit ergibt, ist der nachweis erbracht

prodomo aktiv_icon

13:14 Uhr, 26.12.2012

Das ist eigentlich nicht die Herleitung der Gleichung für logistisches Wachstum, sondern nur die Prüfung einer gegebenen Lösung, was ungleich leichter ist. Für die Ableitung setzt du sinnvoll

B (t) = S \cdot {(1 + a \cdot e^{- S \cdot k \cdot t})}^{- 1}

und nimmst die Produktregel und die Kettenregel. Dann bringst du dein Ergebnis durch Termumformung auf die vorgegebene Form. Da die letzte Zeile ja bekannt ist, kannst du ganz zielgerichtet umformen.
Herausbekommen müsstest du für die Ableitung

B' (t) = S \cdot (- 1) \cdot {(1 + a \cdot e^{- S \cdot k \cdot t})}^{- 2} \cdot (- a \cdot S \cdot k) \cdot e^{- S \cdot k \cdot t} = (a \cdot S \cdot k) \cdot B (t) \cdot {(1 + a \cdot e^{- S \cdot k \cdot t})}^{- 1} \cdot e^{- S \cdot k \cdot t}

. Für das weitere Vorgehen bilde am besten zuerst

S - B (t) ...

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