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Beweise von Wachstumsfunktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Exponentialfunktion, Wachstumsfunktion

Metropoler aktiv_icon

23:51 Uhr, 01.01.2010

Hallo zusammen,

ich habe über die Ferien die Aufgabe aufbekommen, die zwei folgenden Beweise zu ermitteln:

Beweis 1:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{h}}{e^{x}} = 0$

Beweis 2:

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{h}} = \infty$

Zu beachten ist, dass dies zu beweisen ist ohne die Ableitung zu benutzen, da diese für mich noch nicht bekannt sind.

Bei Beweis 1 habe ich überhaupt keinen anhaltpunkt gefunden.

Bei Beweis 2 dagegen habe ich grafisch [siehe Anhang] entnehmen können, dass diese Graph eine Polstelle hat und einen darauf folgenden Tiefpunkt, was grafisch eine positives Verhalten gegen unendlich somit erklärt. Aber für die Polstelle bräuchte ich wiederrum die Ableitung. Kennt hierfür jemand vielleicht auch einen Ansatzpunkt?

Ich freue mich über Antworten.

Anhang: anhang.ggb

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

00:49 Uhr, 02.01.2010

l i m_{x \to \infty} \frac{x^{h}}{e^{x}} = 0

eigentlich genügt es eines von beiden zu beweisen - es sind ja Kehrwerte.
Das angenehmere scheint diese Variante zu sein:

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{h}} = \infty

nach Prüfung der Voraussetzungen kann man die Regel nach de lHôpital einsetzen, welche besagt, dass der Grenzwert nach unendlich des Qutienten zweier Funktionen gleich dem Quotienten der Ableitungen der Funktionen ist.

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{h}} = l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h \cdot x^{h - 1}}

Das lässt sich freilich noch einige Male weiterführen, denn

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h \cdot x^{h - 1}} = l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h (h - 1) \cdot x^{h - 2}} = = l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h (h - 1) (h - 2) \cdot x^{(h - 3)}} = l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h (h - 1) (h - 2) (h - 3) \cdot x^{(h - 4)} = . . .}

macht man h Ableitungen bekommt man

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h! \cdot x^{(h - h)}}

vereinfacht:

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h! \cdot x^{0}}

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h! \cdot 1}

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{h!}

Geht man davon aus dass

l i m_{x \to \infty} e^{x} = \infty

als bereits bewiesen gilt, ist offenbar, dass der unveränderliche Teiler

h!

diesen Grenzwert nicht mehr beeinflusst.

Spieler5 aktiv_icon

00:56 Uhr, 02.01.2010

@pleindespoir:

Les nochmal genauer: Zu beachten ist, dass dies zu beweisen ist ohne die Ableitung zu benutzen, da diese für mich noch nicht bekannt sind.

Guts Neues wünsch ich trozdem noch :-)

Metropoler aktiv_icon

01:23 Uhr, 02.01.2010

Das ist ja schon einmal fantastisch :-) Dank euch beiden für eure Hilfe!

Die Herleitung werde ich mir morgen genauer ansehen, denn dazu muss ich noch die Regel von lHôptial lernen. Aber Dank Oberprima ist das ja nicht so schwer.

Aber ich habe noch eine grundsätzliche Frage: Du sagst es sei irrelevant was man betrachtet, da es sich um Kehrwerte handelt. Das musst du mir noch etwas näher bringen, bitte. :-)

pleindespoir aktiv_icon

01:24 Uhr, 02.01.2010

Sorry - hab ich ganz versiebt - dann vielleicht so:

l i m_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{h}} = \infty

e^{(l n (\frac{e^{x}}{x^{h}}))}

e^{(l n (e^{x}) - l n (x^{h}))}

e^{(x \cdot l n (e) - h \cdot l n (x))}

e^{(x - h \cdot l n (x))}

Jetzt müsst mer es schaffen folgende Relation zu beweisen:

x > h \cdot l n (x)

was aber auch nicht so ohne sein dürfte, das es eine transzendente Ungleichung ist.

Naja - vielleicht hilft Dir das zumindest mal als Denkanstoss ...

Was hattest du denn so für Ideen schon probiert?

pleindespoir aktiv_icon

01:37 Uhr, 02.01.2010

"Du sagst es sei irrelevant was man betrachtet, da es sich um Kehrwerte handelt."

So habe ich das nicht gesagt!

ich meinte wenn

l i m_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \infty

dann dürfte es nicht allzugrosse Mühen bereiten nachzuweisen, dass

l i m_{x \to \infty} \frac{g (x)}{f (x)} = 0

\frac{1}{\infty} = 0

Metropoler aktiv_icon

01:38 Uhr, 02.01.2010

Also habe mir das mal jetzt richtig durchgelsen und deine zweite Herleitung finde ihr seehhrr kompliziert :-) Ich denke ich nehme die obere Herleitung, die ich auch verstanden habe.

Was noch zu klären wäre ist: Warum ist es irrelevant welche der beiden man beweist? Das mit dem Kehrwert müsstest du mir nochmal erklären :-D . Aber soweit sehr herzlichen Dank von meiner Seite! Du hast mir schon ziemlich aufschwung gegeben :-)

Was ich bereits probiert hatte:

- Einsetzen der Grenzwert

- Ableiten der Grenzfunktion

- einsetzen diverser Werte

- Graphisches ablesen, bzw. bildliches vorstellen des Graphen

- Auswertung der grafischen Darstellung

- Ablesen aus dem Graphen und danach Herleiten

- im Internet gesucht

- Oberprima Videos angeguckt

- Funktion umstellen

- teilweise Ableitung

- ...

Und natürlich einfach mal so mehr oder weniger sinnvolle Gedankengänge nach dem Motte "Irgendwie komm ich schon zum Ziel" durchgegangen :)

Gute Nacht :-]

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