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Gleichung einer Kugel

Schüler Gymnasium,

Tags: eben, Gerade, Kugel

Ambie aktiv_icon

22:34 Uhr, 29.03.2015

Hallo,
ich versuche schon eine Zeit lang die folgende Aufgabe zu lösen, jedoch komme ich einfach nicht auf eine Lösung.

Aufgabe:
Gegeben ist die Gerade

g

durch die Punkte

P (13 | 2 | 9), Q (- 11 | 8 | 3)

und die Kugel

K

mit dem Mittelpunkt

M (1 | 2 | 3)

und dem Radius 6.

a)

Die Ebene

E

ist parallel zu

g

und geht durch

R (5 | 2 | - 7)

und

S (1 | 14 | 3)

. Bestimmen sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung von E.

b)

Bestimmen Sie die Gleichung einer Kugel

K 1,

die die Ebene

E

im Punkt

R

berührt und

g

als Tangente besitzt.

c)

Berechnen Sie die Schnittpunkte von

g

und

K

und geben Sie Gleichungen für die Tangentialebenen in diesen Schnittpunkten an. Unter Welchem Winkel schneiden sich diese beiden Tangentialebenen?

d)

Es gibt zwei Ebenen, die zu

g

orthogonal sind und die Kugel

K

in einem Kreis mit dem Radius 2 schneiden. Geben Sie Gleichungen dieser Ebenen an.

Bei

a)

habe ich diese Ebene raus

: - x 1 - 2 x 2 + 2 x 3 = - 23

Jedoch weiß ich nicht wie ich bei

b)

auf die Kugel

K 1

kommen soll.
Bei dem Berührpunkt von der Kugel

K 1

und der Geraden

g

kommt bei mir

F (\frac{7}{3} | \frac{14}{3} | \frac{19}{3})

raus. Wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

00:19 Uhr, 30.03.2015

b)

Ich erhalte den gleichen Berührpunkt mit der Geraden.

\Rightarrow k_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 6)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 144

( Allerdings habe ich zur Bestimmung der Kugelgleichung diesen Berührpunkt nicht verwendet. )

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11:35 Uhr, 30.03.2015

Wie kommst du genau auf diese Gleichung?

Hubs15 aktiv_icon

12:48 Uhr, 30.03.2015

Du müsstest eine Ebene senkrecht zu FR durch den Mittelpunkt von FR legen. Diese Ebene schneidet die Lotgerade durch

R

auf

E

im Mittelpunkt deiner gesuchten Kugel.

Hubs15 aktiv_icon

15:11 Uhr, 30.03.2015

Ich komme mit meiner Methode auf die gleiche Lösung wie Respon.
@Respon: wie geht das ohne Berechnung des Berührpunktes? Bitte um einen Tipp!

Respon

20:10 Uhr, 30.03.2015

Wie immer bei solchen Aufgaben gibt es mehrere Möglichkeiten.
Die gesuchte Kugel berührt die Ebene

ε : - x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 23

im Punkt

R = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ - 7 \end{matrix}) \Rightarrow

der Mittelpunkt

M

liegt auf einer Normalen zur Ebene durch den Punkt R.

n : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ - 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Für ein bestimmtes

t

erhält man die Koordinaten des Mittelpunktes.

M

hat daher vorerst die formale Gestalt:

M = (\begin{matrix} 5 - t \\ 2 - 2 \cdot t \\ - 7 + 2 \cdot t \end{matrix}),

den Abstand zur Ebene

(= r

)bekommt man mit der HNF.

r = \frac{- (5 - t) - 2 \cdot (2 - 2 \cdot t) + 2 \cdot (- 7 + 2 \cdot t) + 23}{3} = 3 \cdot t

Den Abstand von

M

zur gegebenen Geraden ist ebenfalls

r

und läßt sich mit dem Kreuzprodukt berechnen.
MQ

= Q - M = (\begin{matrix} - 16 + t \\ 6 + 2 \cdot t \\ 10 - 2 \cdot t \end{matrix})

3 \cdot t = \frac{| (\begin{matrix} - 16 + t \\ 6 + 2 \cdot t \\ 10 - 2 \cdot t \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) |}

Berechnet man das Kreuzprodukt und die relevanten Beträge, so erhält man

\frac{\sqrt{256 + {(9 \cdot t - 56)}^{2} + {(9 \cdot t + 8)}^{2}}}{\sqrt{18}} = 3 \cdot t

Sieht zwar gefährlich aus, liefert aber den Wert

t = 4

\Rightarrow M = (\begin{matrix} 1 \\ - 6 \\ 1 \end{matrix})

und

r = 12

( Hoffentlich ohne Tippfehler. )

Hubs15 aktiv_icon

20:37 Uhr, 30.03.2015

Jetzt ists klar. Ich habe etwas gebraucht. Aber nur so verstehe ich diesen Quotienten der gleich

3 t

ist: Der Betrag von MQ

x

Richtungsvektor von

g

ist eine Parallelogrammfläche, deren Inhalt ist gleich dem Inhalt der Rechtecksfläche

r

mal Betrag von Richtungsvektor von

g

. Beide haben die gleiche Grundseite und die gleiche Höhe. Raffiniert! Danke für die ausführliche Antwort.

Ambie aktiv_icon

23:46 Uhr, 31.03.2015

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten.
Nach der Methode von Hubs15 komme ich jetzt auch auf das Ergebnis.
@Respon Ich verstehe nicht genau wie du den Abstand von

M

zur Geraden bestimmt hast, wenn du Zeit hast würde ich mich freuen, wenn du es ausführlicher erklären könntest.

Bei

c)

bekomme ich

S_{1} = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{matrix})

und

S_{2} = (\begin{matrix} - 3 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}), E_{1} : 2 x + y + 2 z = 28

und

E_{2} : - 2 x + 2 y + z = 23

α

ist bei mir 90°.

Bei

d)

habe ich für

E_{1} : (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} \frac{13}{3} \\ \frac{12}{3} \\ \frac{5}{3} \end{matrix})) = 0

E_{2} : (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} \frac{19}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{13}{3} \end{matrix})) = 0

Respon

04:12 Uhr, 01.04.2015

Zum Thema "Abstand eines Punktes von einer Geraden" gibt es genügend Literatur im WWW.
Zwei Methoden werden häufig verwendet:

1)

Normalebene zur Geraden durch den Punkt

2)

Über das Kreuzprodukt ( kürzer, aber nicht so durchschaubar )
Links dazu
http//www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-gerade-formel.html
nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/AbstandPunktGerade.pdf
http//www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/abstaende/abstand-punkt-gerade/
http//de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie
Möge die Übung gelingen.

Ambie aktiv_icon

14:12 Uhr, 01.04.2015

Vielen Dank euch beiden. Ihr habt mir sehr geholfen!

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