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Stammfunktion einer Funktion bestimmen

Schüler

Tags: Stammfunktion

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15:36 Uhr, 15.08.2011

ich habe die folgende Funktion

f (x) =

(x^4-8)/(x³-6x²+10x)

ich habe folgende hilfestellung bekommen

\int

1/ax²+bx+c

d x =

2/4ac-b² arctan 2ax+b/4ac-b²
und

\int

x/ax²+bx+c

d x =

1/(2a)ln|ax²+bx+c|

- \frac{b}{2 a} \int

1/ax²+bx+c

d x

bitte hilft mir

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Aurel

16:05 Uhr, 15.08.2011

meinst du

f (x) = 4 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 6 x^{2} + 10 x

oder

f (x) = 4 x^{4} - \frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

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16:08 Uhr, 15.08.2011

upps ich habe mich vertippt
es sollte eingentlich (x^4-8)/(x³-6x²+10) heißen

Aurel

16:19 Uhr, 15.08.2011

Mach eine Partialbruchzerlegung von

\frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

Ansatz:

\frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x} = \frac{8}{x \cdot (x^{2} - 6 x + 10)} = \frac{A}{x} + \frac{B \cdot x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

....ausmultiplizieren,

A, B, C

bestimmen

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16:55 Uhr, 15.08.2011

das problem ist
ich kann das nicht so mit der partialbruchzerlegung

: S

Aurel

17:08 Uhr, 15.08.2011

Gleichung:

\frac{8}{x \cdot (x^{2} - 6 x + 10)} = \frac{A}{x} + \frac{B \cdot x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

mit dem Nenner

x \cdot (x^{2} - 6 x + 10)

multiplizieren liefert die Gleichung:

8 = A \cdot x^{2} - 6 \cdot A \cdot x + 10 \cdot A + B \cdot x^{2} + C \cdot x

rechte Seite zusammenfassen:

8 = x^{2} \cdot (A + B) + x \cdot (C - 6 \cdot A) + 10 \cdot A

jetzt Koeffizientenvergleich, wobei die linke Seite der Gleichung so geschrieben werden kann:

0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 8

die Koeffizienten sind dann 0 bei

x^{2}, 0

bei

x

und 8

das liefert 3 Gleichungen:

10 \cdot A = 8

C - 6 \cdot A = 0

A + B = 0

\Rightarrow

A = \frac{4}{5}

B = - \frac{4}{5}

C = \frac{24}{5}

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17:14 Uhr, 15.08.2011

du hast was übersehen glaube ich im zähler steht nicht die 8 alleine da
Zähler:

4 x^{4} - 8

Nenner: x³-6x²+10x

Aurel

17:28 Uhr, 15.08.2011

ich meinte die Funktion heißt:

f (x) = 4 x^{4} - \frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

aber du meintest:

f (x) = \frac{4 x^{4} - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

nun wir könnten

f (x)

zerlegen in

f (x) = \frac{4 x^{4}}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x} - \frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

somit können wir die Partialbruchzerlegung für

\frac{8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

gleich weiterverwenden

bei

\frac{4 x^{4}}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

machen wir da der Zählergrad größer als der Nennergard ist zunächst eine Polynomdivision

ODER

gleich zunächst gleich bei (4x^4-8)/(x^3-6x^2+10x)die Polynomdivision...was ich empfehlen würde

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17:38 Uhr, 15.08.2011

wenn ich sofort die polynomdivision anwende so hab ich da folgendes raus

4 x^{4} - 8 : x^{3} - 6 x^{2} + 10 = 4 x + 24 + \frac{144 x^{2} - 40 x - 248}{x^{3} - 6 x^{2} + 10}

und wie geht es dann weiter??

Aurel

17:48 Uhr, 15.08.2011

Achtung, hast du im Nenner das

x

bei 10vergessen?

nemen wir an die Polynomdivision stimmt, dann suchen wir also die Stammfunktion:

F (x) = \int 4 x d x + \int 24 d x + \int \frac{144 x^{2} - 40 x - 248}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x} d x

Nun bei

\frac{144 x^{2} - 40 x - 248}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

eine Partialbruchzerlegung nach dem Prinzip, wie ich es oben beschrieben habe.

kiz66 aktiv_icon

08:11 Uhr, 16.08.2011

upps hab das

x

bei der

10

vergessen

x^{4} - 8 : x^{3} - 6 x^{2} + 10 x = x + 6 + \frac{26 x^{2} - 60 x - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

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08:28 Uhr, 16.08.2011

wenn ich jetzt die gleichung in partialbrüche zerlege
Gleichung:

\frac{26 x^{2} - 60 x - 8}{x (x^{2} - 6 x + 10)} = \frac{26 x^{2} - 60 x - 8}{x (x^{2} - 6 x + 10)}

wie wäre es dann mit den Variablen

A, B

und

C

ausgedrück??

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11:03 Uhr, 16.08.2011

kann mir den keiner weiter helfen??

funke_61 aktiv_icon

13:11 Uhr, 16.08.2011

Hallo,
mal nur ein Tip von mir:
Bei Deiner Polynomdivision hast Du Dich leider verrechnet.
Das richtige Ergebnis wäre

f (x) = \frac{4 x^{4} - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x} = 4 x + 24 + \frac{104 x^{2} - 240 x - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

Das Integral aus

4 x

und aus

24

sollten kein Problem sein.
Damit bleibt für die Partialbruchzerlegung der Term

\frac{104 x^{2} - 240 x - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

der mit dem gleichen Schema, wie oben von Aurel beschrieben, zu zerlegen wäre.
;-)

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13:25 Uhr, 16.08.2011

wäre das dann so

\frac{104 x^{2} - 240 x - 8}{x (x^{2} - 6 x + 10)} = \frac{A}{x} - \frac{B x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

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13:30 Uhr, 16.08.2011

fast. zwischen Bx und

C

steht natürlich ein "

+

" und kein "

\cdot

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13:35 Uhr, 16.08.2011

upps hab es vergessen

und dann wäre es

104 x^{2} - 240 - 8 = A x^{2} - 6 A x + 10 A + B x^{2} + C x

104 x^{2} - 240 - 8 = x^{2} (A + B) + x (C - 6 A) + 10 A

und nun?
was muss ich als nächstest machen?

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13:39 Uhr, 16.08.2011

Vorsicht: Du hast schon wieder einen Fehler drin: vor

x^{2}

fehlt das

B

aber die geordnete Form (zweite Zeile) scheint richtig zu sein
wie oben bei Aurel:
Koeffizienten vergleichen,
usw.

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14:01 Uhr, 16.08.2011

Wenn man erkennt, dass sich die 8 aus den Koeefizienten der linken Seite ausklammern lässt, dann erhält man übrigens für die linke Seite:

104 x^{2} - 240 x - 8 =

8 (13 x^{2} - 30 x - 1)

dies liefert vielleicht schönere Zahlen

. .

. habe es aber noch nicht überprüft.

Nein wesentlich schöner wird das auch nicht! Es bringt nichts. Deshalb am besten weiter wie oben bei Aurel.

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14:04 Uhr, 16.08.2011

ich habe für

A = - (\frac{4}{5}), B = \frac{524}{5}

und

C = \frac{1176}{5}

raus
und was muss ich jetzt mit den zahlen machen?
wo muss ich diese einsetzen?

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14:06 Uhr, 16.08.2011

A und

B

stimmen, bei

C

hast Du Dich leider wieder verrechnet

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14:13 Uhr, 16.08.2011

hab es korregiert da kommt bei

C = \frac{1176}{5}

raus
und wie geht es weiter mit der rechnung

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14:17 Uhr, 16.08.2011

probiers nochmal.
Das Gleichungssystem war:

104 = A + B

- 240 = C - 6 A

- 8 = 10 A

Da Du A und

B

richtig ausgrechnet hast, setz

A = - \frac{4}{5}

und

B = \frac{524}{5}

in die Mittlere Gleichung ein und bestimme nochmal

C

Tipp: der Zahlenwert

\frac{1224}{5}

war schon ok, nur das Vorzeichen stimmte nicht
;-)
Unten bei Deinem nächsten Post hast Du übrigens schon wieder ein "

\cdot

" statt eines "

+

" geschrieben.

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14:19 Uhr, 16.08.2011

muss ich die werte jetzt hier einsetzten

\frac{A}{x} - \frac{B x \cdot C}{x^{2} - 6 x + 10}

- \frac{\frac{4}{5}}{x} - \frac{\frac{524}{5} \cdot x \cdot \frac{1176}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

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14:25 Uhr, 16.08.2011

warum muss ich

B

in die Mittlere gleichung einsetzten
ich hab nur A eingesetzt

240 = C - 6 A

240 = C - 6 \cdot (- (\frac{4}{5}))

240 = C + \frac{24}{5} | - \frac{24}{5}

C = \frac{1176}{5}

so hab ich das gerechnet

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14:28 Uhr, 16.08.2011

Ja, stimmt: das

B

brauchst Du hier nicht.
Aber schau doch: vor der

240

steht ein Minuszeichen.
deshalb:

- 240 = C - 6 A

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14:34 Uhr, 16.08.2011

upps ich hab das minuszeichen vollkommen übersehen

C = - \frac{1224}{5}

aber jetzt ist es richtig oder?

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14:37 Uhr, 16.08.2011

genau.
und jetzt setz Deine Ergebnisse für

A, B

und

C

mal vorsichtig in den Ansatz für die Partialbruchzerlegung ein.
Denk dabei bitte an das "

+

" zwischen Bx und

C

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14:43 Uhr, 16.08.2011

\frac{A}{x} - \frac{B x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

- (\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{x} - \frac{524 x}{5} + \frac{1224}{5} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10}

ist das so richtig?

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14:53 Uhr, 16.08.2011

ich habe oben mal nachgesehen, Du hattest als Ansatz ja ein Minuszeichen zwischen

\frac{A}{x}

und

\frac{B x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

also

\frac{A}{x} - \frac{B x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

Das hatte ich nicht bemerkt. Vielleicht deswgen die ganze Vorzeichenverwirrung?

Ich habe das ganze mit

\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 6 x + 10}

(wie Aurel oben)
angesetzt und komme so deshalb auf:

\frac{- \frac{4}{5}}{x} + \frac{(\frac{524}{5}) x - \frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 1}

Die zweite Zeile Deines Posts von

13 : 35

Uhr,

16.08.2011

104 x^{2} - 240 x - 8 = x^{2} (A + B) + x (C - 6 A) + 10 A

entsteht übrigens aus meinem Ansatz mit dem Pluszeichen zwischen den beiden Brüchen.

Beachte also bitte das Vorzeichen zwischen den beiden Brüchen.

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14:55 Uhr, 16.08.2011

und wie muss ich jetzt weiter rechnen??

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15:07 Uhr, 16.08.2011

Es ging ja darum, die ursprüngliche Funktion

f (x) = \frac{4 x^{2} - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

so weit "auseinanderzureissen" (also in Summanden zu zerlegen), dass Du mit den (ganz oben gegebenen) "Hilfestellungen" die einzelnen Summanden integieren kannst.
Jetzt schau Dir erstmal den zweiten Bruch nochmal genau an.
Was fällt Dir dazu ein?

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15:15 Uhr, 16.08.2011

um erlich zu sein fällt mir dazu nix ein
ich versteh bei der Hilfestellung nicht woher das arctan herkommt

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15:18 Uhr, 16.08.2011

Ich meinte das letzte Ergebnis der Partialbruchzerlegung

\frac{- \frac{4}{5}}{x} + \frac{(\frac{524}{5}) x - \frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

was fällt Dir beim rechten Bruch auf, wie kann man den nochmal als Summe schreiben?

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15:21 Uhr, 16.08.2011

- \frac{\frac{4}{5}}{x} + \frac{\frac{1}{5} (524 x - 1224)}{x^{2} - 6 x + 10}

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15:28 Uhr, 16.08.2011

ok, das ist etwas "vereinfacht"
Aber es geht wirklich darum, Funktionsterme so weit wie möglich in SUMMEN zu verwandeln.
Mach bitte aus dem rechten Bruch

\frac{\frac{524}{5} x - \frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

noch eine Summe.

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15:34 Uhr, 16.08.2011

ich versteh das nicht Wie kann man den Funktionsterm in Summen schreiben
dann müsste ich doch für

x

einen wert einsetzen oder

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15:36 Uhr, 16.08.2011

dann so:

\frac{a + b}{c}

mach daraus bitte eine Summe

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15:42 Uhr, 16.08.2011

meinst du

\frac{a}{c} + \frac{b}{c}

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15:47 Uhr, 16.08.2011

genau, und jetzt mach bitte das gleiche mit dem Bruch aus
meinem Post von

15 : 28

Uhr,

16.08.2011

Wenn Du das geschafft hast, dann solltest Du etwas weitersehen können.

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15:50 Uhr, 16.08.2011

upps

\frac{\frac{524}{5} x}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{\frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

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15:52 Uhr, 16.08.2011

fast.
das wichtigste hast Du unterschlagen: das

x

;-)

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15:55 Uhr, 16.08.2011

\frac{\frac{524}{5} x}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{\frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

funke_61 aktiv_icon

16:01 Uhr, 16.08.2011

Puh. ja, genau so :-)
Jetzt haben wir den ursprünglichen Funktionsterm so weit wie möglich in Summanden zerlegt.
"Vor" diesen beiden Summanden sind aber noch andere Terme, die nicht vergessen werden dürfen.
Kannst Du Dich noch daran erinnern?
Schreib bitte alle Summanden, die bis jetzt ermittelt wurden, nochmal an.

kiz66 aktiv_icon

16:10 Uhr, 16.08.2011

4 x + 24 + (- \frac{\frac{24}{5}}{x}) + \frac{\frac{524}{5}}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{\frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

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16:12 Uhr, 16.08.2011

wieder das "

x

" vergessen ;-)
und

A = - \frac{4}{5}

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16:19 Uhr, 16.08.2011

so aber jetzt ist es richtig

4 x + 24 + (- \frac{\frac{4}{5}}{x}) + \frac{\frac{524}{5} x}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{\frac{1224}{5}}{x^{2} - 6 x + 10}

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16:21 Uhr, 16.08.2011

gut,
welche von diesen Termen kannst Du jetzt problemlos integrieren?

kiz66 aktiv_icon

16:24 Uhr, 16.08.2011

hmm weis nicht
ich bin gerade komplet durch einander tut mir leid

funke_61 aktiv_icon

16:56 Uhr, 16.08.2011

na immerhin ;-)
also:

f (x) = \frac{4 x^{4} - 8}{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x}

konnte man nicht integrieren.
Deshalb wurde es in Summanden aufgeteilt, die ich jetzt mal nur etwas anders hinschreibe:

f (x) = 4 x + 24 - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{524}{5} \cdot \frac{x}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{1224}{5} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10}

Da man Konstanten aus einem Integral herausziehen darf, ist es möglich die Integrale so zu schreiben:

F (x) = 4 \int x d x + 24 \int d x - \frac{4}{5} \int \frac{1}{x} d x + \frac{524}{5} \int \frac{x}{x^{2} - 6 x + 10} d x - \frac{1224}{5} \int \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10} d x

So bleiben dann nur die Integrale

\int x d x

\int d x

\int \frac{1}{x} d x

\int \frac{x}{x^{2} - 6 x + 10} d x

und

\int \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10} d x

zu lösen.
Da es ein wichtiger Teil der Aufgabe ist, die beiden letzten Integrale zu lösen, vergleich das letzte Integral mal mit deiner ersten Hilfestellung, die wohl so aussehen könnte (ohne Gewähr, nur aus Deiner "Hilfestellung" erschlossen):

\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}

arctan

(\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}})

Habe ich das so richtig übertragen?
(Das soll übrigens einfach eine Formel sein, die Du hier für das Integrieren des letzten Terms benutzen sollst (black box). Herleiten kann ich Dir díese Formel sowieso nicht.)
;-)
EDIT: die Integrationsformel habe ich übrigens eben nochmal verändert (Wurzeln in den Nennern!)

Shipwater aktiv_icon

17:05 Uhr, 16.08.2011

\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \frac{2 \cdot a r c t a n (\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}})}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} + C

Bei Bedarf kann ich noch die Herleitung posten.

funke_61 aktiv_icon

17:09 Uhr, 16.08.2011

@shipwater: gehört da nicht auch die Wurzel in den Nenner im Argument des Arcustangens, (so wie ich es oben korrigiert habe?) oder ist da ein Fehler bei Wolfram Alpha?

kiz66 aktiv_icon

17:09 Uhr, 16.08.2011

ja bitte

Shipwater aktiv_icon

17:27 Uhr, 16.08.2011

Die Wurzel im Nenner des Arkustangens-Arguments ist schon korrekt.
Erstmal kann man quadratisch ergänzen:

\int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x = \int \frac{1}{a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c} d x = \int \frac{1}{{(\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}} d x

Nun folgt die Substitution

z := \sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}

mit

d x = \frac{d z}{\sqrt{a}}

\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \int \frac{1}{z^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}} d z = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \int \frac{1}{\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \cdot (\frac{4 a z^{2}}{4 a c - b^{2}} + 1)} d z = \frac{4 \sqrt{a}}{4 a c - b^{2}} \cdot \int \frac{1}{{(\frac{2 \sqrt{a} z}{\sqrt{4 a c - b^{2}}})}^{2} + 1} d z

Jetzt folgt die Substitution

u := \frac{2 \sqrt{a} z}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}

mit

d z = \frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 \sqrt{a}} d u

\frac{4 \sqrt{a}}{4 a c - b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 \sqrt{a}} \cdot \int \frac{1}{u^{2} + 1} d u = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \cdot a r c t a n (u) + C

Resubstitution ergibt schließlich:

\frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \cdot a r c t a n (\frac{2 \sqrt{a} z}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}) + C = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \cdot a r c t a n (2 \sqrt{a} \cdot \frac{(\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}) + C = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \cdot a r c t a n (\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}) + C

= \frac{2 \cdot a r c t a n (\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}})}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} + C

kiz66 aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.08.2011

omg ist das viel
wie soll ich das nur hin bekommen?

Shipwater aktiv_icon

18:30 Uhr, 16.08.2011

Du darfst die Formel ja anscheinend benutzen, von daher... Ich bin jetzt aber wieder weg, da andere User vor mir hier geantwortet haben.

funke_61 aktiv_icon

18:40 Uhr, 16.08.2011

Du solltest die "Hilfestellung" wirklich als "Black Box" betrachten.
Das was shipwater hergeleitet hat geht wirklich weit über den ABI-Stoff hinaus.
Ich muß mich jetzt leider auch verabschieden.
Viel Glück und vielleicht bis Morgen.

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