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1. Ableitung mittels Grenzwertbildung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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21:30 Uhr, 05.05.2010

Hallo!

Habe ein Problem mit nachstehender Aufgabe:

Nach den Ableitungsregeln ist (x^3)' = 3 * x^2

</div>

a) Leiten Sie die 1. Ableitung von f(x) = x^3 mittels Grenzwertbildung her.

b) Leiten Sie die 1. Ableitung von f(x) = x^3 auf eine andere Weise her.

Wäre wirklich super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Komme leider absolut nicht weiter...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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smoka

21:31 Uhr, 05.05.2010

Wie ist die erste Ableitung denn definiert?

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21:33 Uhr, 05.05.2010

1. Ableitung wäre

3 x^{2}

und die 2. ableitung wäre

6 x

smoka

21:34 Uhr, 05.05.2010

Ich fragte nach der Definition der Ableitung. (Ich kenne sie, ich meinte damit, Du sollst sie Dir mal anschaun.)

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21:59 Uhr, 05.05.2010

Ich habe mir das Thema rund um die 1. Ableitung genau angeschaut, verstehe es aber leider absolut nicht. Wäre also nett, wenn Du/Ihr es mir erklären könntet (vielleicht anhand dieser Aufgabe)...

smoka

22:02 Uhr, 05.05.2010

Ich erklärs Dir gerne, aber nenn mir doch mal bitte die Definition der Ableitung.

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18:56 Uhr, 06.05.2010

Also wie es mit der h-Methode funktioniert, weiß und verstehe ich jetzt. Könnte mir jemand nur kurz aufzeigen, wie es mit der anderen Methode geht? Wäre wirklich sehr nett :-)

smoka

19:02 Uhr, 06.05.2010

Mit der "anderen Methode" (es ist keine andere Methode, mathematisch geschieht genau das gleiche) funktioniert es ganz genauso.
Schon mal was von "learning by doing" gehört? Versuchs doch einfach mal, wenns nicht klappt helfen wir gerne weiter.

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19:22 Uhr, 06.05.2010

Naja, damit meine ich halt die X-Methode bzw. binomische Methode. Sprich:

$[latex]\frac{x^{3}-x_{0}^{3} }{x-x_{0} } [/latex]$

Wie gehe ich nun weiter vor? Habe schon probiert und Videos dazu angeguckt, habe in dem Fall aber keine Ahnung, wie es funktioniert. Wäre also super, wenn Du es mir konkret an diesem Beispiel zeigen könntest, so dass ich es eben verstehe...

smoka

20:43 Uhr, 06.05.2010

Also, da Du Dich (aus welchen Gründen auch immer) ja permanent dagegen sträubst, folgenden Grenzwert nennt man im Falle der Existenz die erste Ableitung (an der Stelle

x_{0}

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = : f ʹ (x_{0})

Wir möchten nun die Ableitung mittels Grenzwert an einer beliebigen Stelle

a \in ℝ

bestimmen:

lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{x^{3} - a^{3}}{x - a} = lim_{x \to a} (x^{2} + a x + a^{2}) = 3 a^{2}

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22:06 Uhr, 06.05.2010

Bis zum zweitletzten Schritt von Dir war ich ja durch das Einsetzen in die Formel auch gelangt. Was ich eben nicht verstehe ist, wie Du dann auf (x²+ax+a²) bzw. (x²+x*x0+x0²) kommst???

smoka

22:16 Uhr, 06.05.2010

Eine Ableitung bestimmt man nicht durch "Einsetzen in eine Formel" sondern durch eine Grenzwertbildung.
Wenn Du

x^{3} - a^{3}

durch

x - a

teilst kommst Du auch auf en gleichen Term wie ich. (Stichwort: Polynomdivision)

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