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1/wurzel(n) divergent oder konvergent?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

peterbanana2 aktiv_icon

15:19 Uhr, 10.01.2012

hallo, ich meine, dass das divergiert, ich weiß, dass

\frac{1}{n}

divergiert, aber wie zeige ich, dass auch die wurzel divergent ist falls das überhaupt stimmt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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faust80 aktiv_icon

15:23 Uhr, 10.01.2012

Die Frage ist mir nicht präzise genug. Was soll auf Konvergenz/Divergenz geprüft werden?
Die Folge für

n

gegen unendlich oder eine Reihe?
Die folge

\frac{1}{n}

für

n

gegen unendlich konvergiert zum Beispiel, währen die unendliche Reihe divergiert...

peterbanana2 aktiv_icon

15:26 Uhr, 10.01.2012

ich meine die reihe

\frac{1}{\sqrt{n}}

dapso aktiv_icon

15:33 Uhr, 10.01.2012

\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n} \geq

...

faust80 aktiv_icon

15:39 Uhr, 10.01.2012

. .

. Das wäre auch mein Vorschlag gewesen. Forme wie dapso schreibt um und dann liefert das Minorantenkriterium die Antwort...

hagman aktiv_icon

15:39 Uhr, 10.01.2012

Nun,

\sum \frac{1}{\sqrt{n}}

ist sozusagen "noch divergenter" als

\sum \frac{1}{n}

(Minoranenkriterium), denn es ist ja stets

\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}

peterbanana2 aktiv_icon

15:39 Uhr, 10.01.2012

achso, also

lim \frac{\sqrt{n}}{n} \geq lim \frac{1}{n},

also divergiert das nach dem majorantenkriterium. kann ich das auch mit

lim \frac{\sqrt{n}}{n + 2}

machen?

hagman aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.01.2012

lim \frac{\sqrt{n}}{n} = 0 \geq lim \frac{1}{n}

reicht natürlich nicht aus

peterbanana2 aktiv_icon

15:43 Uhr, 10.01.2012

quatsch, ich meine natürlich

\sum (\frac{\sqrt{n}}{n + 2}

dapso aktiv_icon

15:46 Uhr, 10.01.2012

edit: Sorry stimmt. Zu schnell gedacht.

faust80 aktiv_icon

15:49 Uhr, 10.01.2012

Das was daspo hier schreibt gilt so nicht. Da müsste kleiner oder gleich stehen nicht größer oder gleich...

peterbanana2 aktiv_icon

15:49 Uhr, 10.01.2012

kannst du das näher erklären?

\frac{1}{3}

ist doch kleiner als

\frac{1}{1}

peterbanana2 aktiv_icon

15:50 Uhr, 10.01.2012

oder bietet sich dafür ein anderes kriterium an?

faust80 aktiv_icon

15:57 Uhr, 10.01.2012

Das Quotientenkriterium könnte hier funktionieren

dapso aktiv_icon

15:59 Uhr, 10.01.2012

\sum_{i = 3}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n + 2} \geq \sum_{i = 3}^{\infty} \frac{1}{n + 2}

Das entspricht, endlich viele Glieder ausgenommen, der harmonischen Reihe, sodass die Konvergenz/Divergenz nicht verändert wird und die Reihe somit divergiert.

peterbanana2 aktiv_icon

16:07 Uhr, 10.01.2012

kann ich auch einfach sagen

\sum (\frac{\sqrt{n}}{n + 2}) > \sum (\frac{\sqrt{n}}{n + 2 n}) = \sum (\frac{\sqrt{n}}{3 n}) > \sum (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n})

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