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2 Kreise in einem Quadrat

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Kreis, Quadrat

Calvin088 aktiv_icon

19:27 Uhr, 06.03.2010

Irgendwie sind mir zu wenig Angaben gegeben, so das ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.

Undzwar sind in einem Quadrat mit der Seitenlänge

a, 2

Kreise mit den Radien

r 1

und

r 2

eingezeichnet.
Das verhältnis von dem Radius des 1. kreises zum Kreis 2 ist

1 : 3

.

Nun soll ermittelt werden wie groß die Radien der Kreise sind.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

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Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Fefel

19:56 Uhr, 06.03.2010

Hallo,

ganz einfach,

z

B

. :

a \sqrt{2} = r + 3 r + r \sqrt{2} + 3 r \sqrt{2}

r = \frac{a}{2 \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})}

r =

kleinerer Radius

R = 3 r =

größerer Radius

Calvin088 aktiv_icon

20:27 Uhr, 06.03.2010

kannst du deine antwort, etwas näher erläutern bitte?

Jeton aktiv_icon

20:58 Uhr, 06.03.2010

Man stelle sich folgendes vor:

1 .)

die Kreise liegen neibeneinander bzw. übereinander im Quadrat:

a = d 1 + d 2

a = 2 \cdot r + 2 \cdot 3 r

a = 8 r

r 1 = \frac{1}{8} a

r 2 = \frac{3}{8} a

2 .)

die Kreise liegen diagonal im Quadrat:

(nichteindeutig zuzuordnen)

ergo:
da nicht speziell nbach einem Maximum gefragt ist, sondern nur eine Relation gegeben ist, dürfte die unter

1 .)

beschriebene Situation stimmen.

Calvin088 aktiv_icon

16:19 Uhr, 08.03.2010

So, ich ahbe mal die Zeichnung hinzugefügt, vielleicht wird es jetzt deutlicher.

Es wäre nett, wenn ihr eure rechnung auch etwas erklären könntet. Die einzelnen Schritte, wie ihr auf "darauf" kommt. Danke

Calvin088 aktiv_icon

23:55 Uhr, 08.03.2010

niemand ne Idee?

CKims aktiv_icon

00:34 Uhr, 09.03.2010

siehe bild

dann hast du

R = 3 r

aus der verhaeltnisangabe

1 : 3

und mit dem satz des pythagoras

{(r + R)}^{2} = {(a - R - r)}^{2} + {(a - R - r)}^{2}

{(r + R)}^{2} = 2 {(a - R - r)}^{2}

obere gleichung einsetzen

{(r + 3 r)}^{2} = 2 {(a - 3 r - r)}^{2}

. .

.

ausrechnen...

lg

Fefel

08:01 Uhr, 09.03.2010

Hallo,

ihr Umstandskramer

s . o

.

Diagonale

: a \sqrt{2}

K r e i s_{1} : r

K r e i s_{2} : 3 r

Diagonale zwischen beiden Kreisen:

2 r \sqrt{2}

Quadrat:

2 r \sqrt{2} + 4 r

r = \frac{a}{2 (\sqrt{2} + 2)}

Edddi aktiv_icon

08:51 Uhr, 09.03.2010

R = 3 \cdot r

...für die Diagonale ergibt sich:

D = R + r = 4 r

...damit ist

Δ y

der Kreismittelpunkte:

Δ y = \frac{4 r}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot r

dazu noch

r + R,

das ist dann

a :

a = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot r + R + r = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot r + 4 r = (2 \cdot \sqrt{2} + 4) \cdot r

r = \frac{a}{2 \cdot \sqrt{2} + 4} \approx 0,1464 \cdot a

R = 3 \cdot \frac{a}{2 \cdot \sqrt{2} + 4} \approx 0,4393 \cdot a

;-)

Jeton aktiv_icon

10:11 Uhr, 09.03.2010

D = R + 3 r = 4 r

diese Formel beschreibt die Diagonale zwischen den Kreismittelpunkten.

Die Diagonale des Quardrates ist

a \cdot (\sqrt{2})

Woher kommt nun

Δ y

DerDepp aktiv_icon

10:52 Uhr, 09.03.2010

Hossa :-)

Was macht ihr denn hier für ein Chaos? Der arme Fragensteller ist bestimmt ähnlich verwirrt wie ich jetzt. Dabei ist die Lösung gar nicht so schwierig.

Der Mittelpunkt des großen Kreises hat vom linken Rand des Quadrates den Abstand R und vom unteren Rand des Quadrates den Abstand R, liegt also auf der Diagonalen des Quadrates. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises hat vom oberen Rand und vom rechten Rand des Quadrates den Abstand r und liegt daher auch auf der Diagonalen des Quadrates. Die Diagonale d ist daher genauso lang, wie die beiden Durchmesser der Kreise zusammen:

d = 2 R + 2 r

Die Länge d der Diagonalen des Quadrates folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d^{2} = a^{2} + a^{2} \overset{}{\Rightarrow} d = \sqrt{2} \cdot a

Also gilt für unsere Kreise:

2 R + 2 r = \sqrt{2} \cdot a

Weiter ist das Verhältnis von r zu R bekannt:

\frac{r}{R} = \frac{1}{3}

.

Daher bietet es sich an, die obige Gleichung auf beiden Seiten durch R zu dividieren und das Verhältnis einzusetzen:

2 + 2 \frac{r}{R} = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{R}

2 + 2 \frac{1}{3} = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{R}

\frac{8}{3} = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{R}

R = \frac{3 \sqrt{2}}{8} \cdot a

Wegen dem Verhältnis

\frac{r}{R} = \frac{1}{3}

ist r dreimal kürzer als R, so dass schließlich als Ergebnis herauskommt:

R = \frac{3 \sqrt{2}}{8} \cdot a; r = \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot a

Viele Grüße

DerDepp

Jeton aktiv_icon

10:59 Uhr, 09.03.2010

Ich widerspreche nur ungern, aber

die Summe der beiden Kreisdurchmesser ist NICHT gleich der

Diagonalen des Quadrates.

Die Kreise berühren nicht die Eckpunkte des Quadrates.

DerDepp aktiv_icon

11:02 Uhr, 09.03.2010

Ooops, stimmt auffallend... Asche über mein Haupt... Sorry :(

Edddi aktiv_icon

11:09 Uhr, 09.03.2010

Δ y

ist wie geschrieben der Höhenunterschied (auch der Breitenunterschied) der Mittelpunkte der beiden Keise.

Es gilt ja:

Δ x = Δ y = \frac{D}{\sqrt{2}}

Mit

D

mein' ich die Diagonale von

M_{1}

M_{2}, D = R + r = 4 r

somit ergibt sich der vertikale, oder auch der horizontale Abstand beider Mittelpunkte zu:

\frac{4 \cdot r}{\sqrt{2}}

..um bis jeweils an den Rand des Quadrats zu kommen benötine wir nochmals

R + r = 4 r

Damit ist dann die Seitenlänge des Quadrats:

a = \frac{4 \cdot r}{\sqrt{2}} + 4 r = (\frac{4}{\sqrt{2}} + 4) \cdot r

und damit:

r = \frac{a}{\frac{4}{\sqrt{2}} + 4} = \frac{a}{2 \cdot \sqrt{2} + 4}

...wie bereits schon beschrieben.

;-)

Jeton aktiv_icon

20:04 Uhr, 09.03.2010

Noch eine doofe Frage von mir:

wo kommt bei der Formel von

Δ y

der Wert

\sqrt{2}

im Nenner her?

Edddi aktiv_icon

08:33 Uhr, 10.03.2010

Die Mittelpunkte der beiden Kreise liegen auf der Diagonalen des Quadrats.

Schau dir einfach meine Skizze im Anhang an!

;-)

Jeton aktiv_icon

20:48 Uhr, 10.03.2010

Vielen Dank Eddi!
Jetzt ist der Groschen gefallen.

Manchmal dauerts halt ein bischen länger :-)

Der Form halber sei erwähnt:

in deiner grafischen Darstellung muß im Zähler (blaue Schrift)

doch ein kleines r stehen, nicht wahr?!

an sonsten ist alles grandios dargestellt. Danke!

Edddi aktiv_icon

07:00 Uhr, 11.03.2010

...gut aufgepasst, das zeigt mir, dass du es wirklich verstanden hast.

;-)

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