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3 Ortsvektoren spannen einen Würfel auf

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ortsvektor, Skalarprodukt, Spat, Winkel

Janna89 aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.02.2010

Wie rechnet man denn sowas aus?????

: (

Zeige, dass die Ortsvektoren

A, B, C

einen Würfel aufspannen:

A = (1, 2, 2) B = (2, 1, - 2) C = (2, - 2, 1)

und die sollen jetz einen Würfel aufspannen. Aber wie genau berechne ich das????
Könnte mir da jemand bitte helfen?

Ich hab wirklich überhaupt keine Ahnung....sicher muss man da was mit einem Winkel machen oder? :-D)

Danke für die Hilfe schonmal
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Geraden im Raum
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Skalarprodukt
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

18:37 Uhr, 03.02.2010

Hallo,
ein Würfel besteht ja aus 6 Quadraten, d.h. überall ist die Seitenlänge gleich und alle Ecken haben 90 Grad. D.h. die Vektoren müssen alle 90 Grad zueinander haben und sie Müssen gleich lang sein. Das muss man einfach überprüfen:

Wenn das euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, haben die Vektoren einen Zwischenwinkel von 90 Grad, also es gilt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} \vec{a} ⊥ \vec{b}

\Rightarrow \vec{A} \cdot \vec{B} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = 1 * 2 + 2 * 1 + 2 * (- 2) = 0

\Rightarrow \vec{B} \cdot \vec{C} = 4 - 2 - 2 = 0

\Rightarrow \vec{C} \cdot \vec{A} = 2 - 4 + 2 = 0

jetzt die Länge der Vektoren:

∣ \vec{A} ∣ = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3

für

\vec{B}

und

\vec{C}

gilt das gleiche, also sind auch die Seitenlängen gleich.

Mam kann ja auch noch das Volumen des Würfels ausrechnen, müsste natürlich auch gleich sein. Für das Volumen

V

eines Würfels mit der Seitenlänge

a

gilt ja:

V = a^{3}

\Rightarrow V = 3^{3} = 27

Für das Volumen eines von 3 Vektoren

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

aufgespannten Spats gilt:

V_{s p a t} = ∣ [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ∣

und für das Spatprodukt muss du hier die Determinante der Matrix dessen Spalten oder Zeilen die 3 Vektoren sind ausrechnen:

[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = d e t (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \end{array}) = - 27

\Rightarrow V_{s p a t} = ∣ - 27 ∣ = 27

Janna89 aktiv_icon

21:43 Uhr, 03.02.2010

Dankeschön du hast mir sehr geholfen!!!!!!
:-D) habs verstanden wies geht!

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