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A, B orthogonal => AB und BA orthogonal Ist so ok?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Beweis, Einheitsmatrix, Identitätsmatrix, Inverse Matrix, Matrizenrechnung, orthogonalität, transponiert

asg-2014 aktiv_icon

21:06 Uhr, 07.12.2014

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe ist gegeben:

Beweisen Sie: Sind

A, B \in ℝ^{n \times n}

orthogonale Matrizen, so sind

A \cdot B

und

B \cdot A

ebenfalls orthogonal.

Meine Lösung:

Voraussetzung: Da A und B jeweils orthogonal sind, gelten die folgenden Voraussetzungen:
a1)

I_{n} = A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A

a2)

A \cdot A^{T} = I_{n}

a3 ) Aus a1 und a2 folgt:

A^{- 1} = A^{T}

b1)

I_{n} = B \cdot B^{- 1} = B^{- 1} \cdot B

b2)

B \cdot B^{T} = I_{n}

b3 ) Aus b1 und b2 folgt:

B^{- 1} = B^{T}

Behauptung: Dann müssen die gleichen Regeln aus den Voraussetzungen auch für die Produkte von

A

und

B

gelten.

(A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{T} = I_{n}

und

(B \cdot A) \cdot (B \cdot A)^{T} = I_{n}

\Leftrightarrow (A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{T} = (B \cdot A) \cdot (B \cdot A)^{T} = I_{n}

Wegen

(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}

und

(B \cdot A)^{T} = A^{T} \cdot B^{T}

gilt:

(A \cdot B) \cdot (B^{T} \cdot A^{T}) = (B \cdot A) \cdot (A^{T} \cdot B^{T}) = I_{n}

Da Matrixmultiplikation die Assoziativität erlaubt, gilt:

A \cdot (B \cdot B^{T}) \cdot A^{T} = B \cdot (A \cdot A^{T}) \cdot B^{T} = I_{n}

Wegen a2) und b2) gilt:

A \cdot I_{n} \cdot A^{T} = B \cdot I_{n} \cdot B^{T} = I_{n}

Da für jede Matrix

M \in ℝ^{n \times n}

gilt

I_{n} \cdot M = M \cdot I_{n} = M

gilt:

(A \cdot I_{n}) \cdot A^{T} = (B \cdot I_{n}) \cdot B^{T} = I_{n}

(A \cdot A^{T}) = (B \cdot B^{T}) = I_{n}

Wegen a2) und b2) gilt:

I_{n} = I_{n} = I_{n}

□

Ist mein Beweis so ok? Gibt es irgendwo einen Fehler oder ist er ganz und gar falsch??

Ich habe jedenfalls die Voraussetzungen a1, a3, b1 und b3 in meinem Beweis nicht verwendet. Sollte mein Beweis so ok sein, dann müsste ich diese vier Aussagen ja aus den Voraussetzungen entfernen oder?

Vielen Dank für jede Hilfe

Viele Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Matrizen - Determinante und inverse Matrix

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pwmeyer aktiv_icon

08:05 Uhr, 08.12.2014

Hallo,

Du hast die richtigen Überlegungen angestellt, ich finde aber die Darstellung etwas schwer verständlich oder auch missverständlich, weil Du simultan 2 Varianten bearbeitest. Ich würde einfach folgende Gleichungskette aufschreiben:

(A \cdot B) \cdot {(A \cdot B)}^{T} = (A \cdot B) \cdot (B^{T} \cdot A^{T}) = A \cdot (B \cdot B^{T}) \cdot A^{T} = A \cdot I \cdot A^{T} = A \cdot A^{T} = I

Und dann für die andere Reihenfolge analog.

Gruß pwm

asg-2014 aktiv_icon

10:39 Uhr, 08.12.2014

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

Ich hatte den Beweis zuerst auch in zwei Teilen geführt, wie du es vorschlägst, aber dann ist mir aufgefallen, dass laut Behauptung beide Reihenfolgen orthogonal sind, also gleich

I_{n}

sind. Somit sollen auch beide Reihenfolgen gleich sein (oder nicht?). Deshalb habe ich beide gleichgestellt.

Soweit ich sehe, verwenden wir beide die selbe Gleichungskette, nur bei mir sind die Übergänge mit etwas Erklärung versehen bzw. begründet (evtl. nicht ganz fachlich korrekt ...)

An welcher Stelle ist es denn missverständlich?

An sich dürfte doch mein Beweis (formal) korrekt sein, oder?

Viele Grüße

Asg

pwmeyer aktiv_icon

12:06 Uhr, 08.12.2014

Wie gesagt, Du hast ja die richtigen Überlegungen gemacht - ich würde eben nicht zwei Umformungssequenzen simultan durchführen,
Gruß pwm

asg-2014 aktiv_icon

18:27 Uhr, 08.12.2014

Hallo,

ok gut, dann werde ich es in zwei Teilen beweisen.

Dankeschön und viele Grüße

Asg

1204038

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